OI-wiki 裴蜀定理全解：从 Bezout 恒等式到一次不定方程与 Frobenius 硬币问题-北京尧图网络

OI-wiki 裴蜀定理全解从 Bezout 恒等式到一次不定方程与 Frobenius 硬币问题【免费下载链接】OI-wiki:star2: Wiki of OI / ICPC for everyone. 某大型游戏线上攻略内含炫酷算术魔法项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki本文以 OI-wiki 数论板块的裴蜀定理文档为主体系统讲解裴蜀定理Bézouts lemma / Bézouts identity的陈述与证明、与其构造性证明直接对应的扩展欧几里得算法、二元及多元一次不定方程的通解结构以及与之紧密相关的 Frobenius 硬币问题与 Sylvester 定理。读完本文你将掌握整数线性组合与最大公约数等价这一核心结论能够独立求解一次不定方程的通解、判断线性同余方程的可解性并理解竞赛经典题如 Codeforces 510 D、NOIP2017 小凯的疑惑背后的数论模型。裴蜀定理裴蜀定理Bézouts lemma也译作贝祖定理或称作贝祖等式Bézouts identity给出了一个整数能够表示为两个整数的整系数线性组合的充分必要条件。裴蜀定理设 $a,b$ 是不全为零的整数。那么对于任意整数 $x,y$都有 $\gcd(a,b)\mid axby$ 成立而且存在整数 $x,y$使得 $axby\gcd(a,b)$ 成立。该定理包含两个方向的信息必要性$\gcd(a,b)$ 整除一切形如 $axby$ 的整数线性组合充分性$\gcd(a,b)$ 本身就可以被写成 $axby$ 的形式即存在一组整系数实现最大公约数。换句话说两个整数 $a,b$ 的所有整系数线性组合的集合恰好等于 $\gcd(a,b)$ 的所有整数倍。这正是裴蜀定理最深层的含义线性组合能取到的最小正整数值就是最大公约数。证明记 $d\gcd(a,b)$。因为 $d\mid a,b$所以存在整数 $u,v$ 使得 $adu,~bdv$ 成立。因此总有$$ ax by d(uxvy). $$这就说明 $d\mid axby$必要性得证。反过来需要说明存在 $x,y$ 使得等式成立。如果 $a,b$ 之一是 $0$不妨设 $b0$那么它们的最大公约数为 $da$显然有 $(x,y)(1,0)$ 使得等式成立。接下来考虑 $a,b$ 均不为零的情形。由于 $\gcd(a,b)\gcd(-a,b)\gcd(a,-b)$所以不妨设 $a,b$ 都是正数。考虑辗转相除法的过程有$$ \begin{aligned} a q_1b r_1, 0\le r_1 b,\ b q_2r_1 r_2, 0\le r_2 r_1,\ r_1 q_3r_2 r_3, 0\le r_3 r_2,\ \cdots \ r_{n-3} q_{n-1}r_{n-2} r_{n-1}, 0\le r_{n-1} r_{n-2},\ r_{n-2} q_nr_{n-1} r_n, 0\le r_n r_{n-1},\ r_{n-1} q_{n1}r_n. \end{aligned} $$由于最大公约数是 $d$最后一步辗转相除时一定有 $r_nd$。所以倒数第二个等式可以写作$$ d r_n r_{n-2} - q_nr_{n-1}. $$从倒数第三个等式中解出$$ r_{n-1} r_{n-3} - q_{n-1}r_{n-2} $$再代入上式就可以消去 $r_{n-1}$$$ \begin{aligned} d r_{n-2} - q_n(r_{n-3} - q_{n-1}r_{n-2}) \ (1 q_nq_{n-1})r_{n-2} - q_nr_{n-3}. \end{aligned} $$类似地可以逐步地消去所有 $r_{n-2},r_{n-3},\cdots,r_2,r_1$最终得到$$ d xa yb. $$这就证明了存在 $x,y$ 使得 $axbyd$ 成立。由前文分析可知这也证明了原命题。注意上述关于存在性的证明是构造性的它沿着辗转相除的轨迹把每一步的余数逐个回代最终显式地给出了一组系数。这个过程本身就是一个算法即扩展欧几里得算法其实现细节将在下文展开。互素情形的推论考虑裴蜀定理在 $\gcd(a,b)1$ 时的特殊情形可以得到如下重要推论推论整数 $a,b$ 互素当且仅当存在整数 $x,y$使得 $axby1$ 成立。这个推论是许多数论结论如模逆元的存在性、中国剩余定理、一次同余方程的可解性的逻辑基石。例如$a$ 在模 $b$ 意义下的逆元存在当且仅当 $\gcd(a,b)1$这正是上述推论的直接应用。仓库中线性同余方程求解代码正是先通过扩展欧几里得求出 $\gcd$再判断整除关系来决定是否有解。多个整数的情形裴蜀定理可以推广到多个整数的情形。定理设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是不全为零的整数。那么对于任意整数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$都有 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid a_1x_1a_2x_2\cdotsa_nx_n$ 成立而且存在整数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$使得 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)a_1x_1a_2x_2\cdotsa_nx_n$ 成立。证明利用 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)\gcd(\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}),a_n)$ 这一点对 $n$ 进行归纳即可。这个恒等式也说明多个数的最大公约数可以通过两两合并的方式求出与 gcd 文档中每次取出两个数求出答案后再放回去的求法相互印证。配套算法扩展欧几里得算法裴蜀定理保证了 $axby\gcd(a,b)$ 一定有整数解而扩展欧几里得算法Extended Euclidean algorithm, EXGCD就是求出这组解的标准方法。OI-wiki 的 gcd 文档中给出了其推导与实现。设$$ ax_1by_1\gcd(a,b),\qquad bx_2(a\bmod b)y_2\gcd(b,a\bmod b), $$由欧几里得定理知 $\gcd(a,b)\gcd(b,a\bmod b)$再利用 $a\bmod ba-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b$展开比对系数即可得到递推关系$$ x_1y_2,\qquad y_1x_2-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y_2. $$将 $x_2,y_2$ 不断代入递归求解直至 $b$ 为 $0$ 时递归返回 $x1,y0$再逐层回代即可。递归实现C如下int Exgcd(int a, int b, int x, int y) { if (!b) { x 1; y 0; return a; } int d Exgcd(b, a % b, x, y); int t x; x y; y t - (a / b) * y; return d; }对应的 Python 实现def Exgcd(a, b): if b 0: return a, 1, 0 d, x, y Exgcd(b, a % b) return d, y, x - (a // b) * y函数返回的值为 $\gcd$在这个过程中同时计算出 $x,y$。仓库中的线性同余方程求解示例完整展示了这一组合用法先用ex_gcd(a, n, x, y)求出 $d\gcd(a,n)$ 与一组特解若 $b\not\equiv 0 \pmod d$ 则无解返回 $-1$否则将特解缩放到 $b/d$ 倍并取模得到最小非负解int solve_linear_congruence_equation(int a, int b, int n) { int x, y; int d ex_gcd(a, n, x, y); if (b % d) return -1; n / d; return ((long long)x * (b / d) % n n) % n; }(x * (b / d) % n n) % n这一步先把特解乘以 $b/d$ 使其满足原同余方程再取两次模以保证返回最小的非负解——这正是裴蜀定理在求解层面的落地。解的值域分析$axby\gcd(a,b)$ 的解有无数个显然其中有的解会爆 long long。万幸的是若 $b\not0$扩展欧几里得算法求出的可行解必有 $|x|\le b,~|y|\le a$。这一性质的证明思路是归纳当 $\gcd(a,b)\notb$ 时由递推式 $x_1y_2$、$y_1x_2-\lfloor a/b\rfloor y_2$ 及 $|x_2|\le a\bmod b$、$|y_2|\le b$ 逐项放缩即可导出 $|x_1|\le b,~|y_1|\le a$。这个界在实际编程中非常有用它保证了递归求出的那组解不会无谓地溢出求解后如需调整到特定范围如取最小非负解只需在通解上平移若干个 $a/d$ 或 $b/d$。例题Codeforces 510 D. Fox And Jumping给出 $n\le 300$ 张卡片分别有 $l_i$ 和 $c_i$。在一条无限长的纸带上你可以选择花 $c_i$ 的钱来购买卡片 $i$从此以后可以向左或向右跳 $l_i$ 个单位任意次。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行输出 $-1$。分析想要跳到每一个格子上必须使得所选数 $l_{i_1},\cdots,l_{i_k}$ 通过数次相加或相减得出的绝对值为 $1$。也就是说存在整数 $x_1,\cdots,x_k$ 使得 $l_{i_1}x_1\cdotsl_{i_k}x_k1$。由多个整数的裴蜀定理这等价于从数组 $l_1,\cdots,l_n$ 中选择若干个数使它们的最大公约数为 $1$同时要求代价和最小。解法 1最短路将最小代价和看作最短路径问题用 Dijkstra 算法求解。图的顶点处存储当前的最大公约数取值起点是 $0$目标点是 $1$每走一步从当前顶点 $x$ 出发沿着长度为 $c_i$ 的边走到顶点 $\gcd(x,l_i)$。该算法时间复杂度为 $O(n^2\log n)$。解法 20-1 背包 / 动态规划设 $f_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个数且最大公因数为 $j$ 的最小代价则有转移方程$$ f_{i, j} \min_{\gcd(k, l_i) j} f_{i - 1, k} c_i. $$DP 后最终的总代价即为 $f_{n,1}$。如同一般的 0-1 背包问题可以用滚动数组优化去掉第一维而这里 300 个数可以组成的最大公约数 $j$ 是很稀疏的可以用哈希表储存避免对全部可能的 $j$ 开数组。两种解法的等价性解法 1 建出的图便是解法 2 中动态规划的状态转移图解法 2 相当于用动态规划求有向无环图的最短路因此两种解法本质等价。但解法 2 无需储存全图且 DP 的时间复杂度为 $O(nm)$相比 Dijkstra 更低因此解法 2 在时间和空间上更优。这道题从能否表示 $1$到gcd 为 $1$的转化是裴蜀定理在竞赛中最典型的应用范式。一次不定方程一次不定方程linear Diophantine equation是形如$$ a_1x_1 a_2x_2 \cdots a_nx_n b $$的不定方程其中 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 都是整数。本节的目标是寻找它的全体整数解。两个变量的情形首先考虑二元一次不定方程$$ a_1x_1 a_2x_2 b. $$裴蜀定理指出该方程有解当且仅当$$ d \gcd(a_1,a_2) \mid b. $$这是有解性判定的最核心判据。接下来假设这一条件成立。利用扩展欧几里得算法可以求出方程 $a_1x_1a_2x_2d$ 的一组整数解 $(x_1^,x_2^)$。由此可以得到原方程的一组特解$$ (x_1^\circ,x_2^\circ) \left(\frac{b}{d}x_1^,\frac{b}{d}x_2^\right). $$注意这里必须使用long long等足够宽的整型$b/d$ 可能很大直接相乘会溢出。要得到全部解可以考虑将原方程与恒等式 $a_1x_1^\circa_2x_2^\circ b$ 相减就有$$ a_1(x_1 - x_1^\circ) a_2(x_2 - x_2^\circ) 0. $$这是一个关于 $(x_1-x_1^\circ,x_2-x_2^\circ)$ 的齐次一次不定方程它有通解$$ (x_1-x_1^\circ,x_2-x_2^\circ) \left(t\dfrac{a_2}{d},-t\dfrac{a_1}{d}\right).\quad(t\in\mathbf Z) $$因此原方程的通解就是$$ (x_1,x_2) \left(x_1^\circ t\dfrac{a_2}{d},x_2^\circ - t\dfrac{a_1}{d}\right).\quad(t\in\mathbf Z) $$这是直线 $a_1x_1a_2x_2 b$ 上一系列等间隔分布的整点。当需要满足 $x_1,x_20$ 或落在某个区间内时只需解关于参数 $t$ 的不等式组即可筛选出合法解由于 $t$ 的步长为 $a_2/d$ 与 $a_1/d$解的个数与 $a_1,a_2$ 的大小相关。多个变量的情形解决了二元的情形多元的情形也就容易解决了。对于 $n$ 元一次不定方程$$ a_1x_1 a_2x_2 \cdots a_nx_n b,\quad (n3) $$由裴蜀定理可知方程有解当且仅当$$ \gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n) \mid b. $$和二元的情形类似多元一次不定方程的通解同样可以写作$$ (x_1^\circ,x_2^\circ,\cdots,x_n^\circ) \sum_{k1}^{n-1} t_k(x_1^{(k)},x_2^{(k)},\cdots,x_n^{(k)}) $$的形式其中 $x^\circ$ 为一个特解$x^{(k)}$ 为相应的齐次方程的 $(n-1)$ 个解。解空间的维数为 $n-1$这正对应方程数 1、未知数 $n$的自由度。要求出通解的具体形式可以通过将 $n$ 元方程转化为 $(n-1)$ 元方程来完成。不妨设 $d_1 \gcd(a_1,a_2)$那么根据裴蜀定理$a_1x_1a_2x_2$ 的全体恰为 $d_1$ 的所有倍数。因此可以首先求解 $(n-1)$ 元一次不定方程$$ d_1y_1 a_3x_3 a_4x_4 \cdots a_nx_n b. $$设得到的它的通解为$$ \begin{aligned} y_1 y_1^\circ \sum_{k2}^{n-1}t_ky_1^{(k)}, \ x_i x_i^\circ \sum_{k2}^{n-1}t_kx_i^{(k)},\quad i3,\cdots,n. \end{aligned} $$设 $a_1x_1a_2x_2d_1$ 的一组特解为 $(x_1^,x_2^)$那么根据前一节的讨论可知关于 $x_1,x_2$ 的二元一次不定方程 $a_1x_1a_2x_2d_1y_1$ 的通解就是$$ x_1 x_1^*y_1 t_1\dfrac{a_2}{d_1},~x_2 x_2^*y_1 - t_1\dfrac{a_1}{d_1}. $$代入 $y_1$ 的表达式就得到原方程的通解$$ \begin{aligned} x_1 x_1^*y_1^\circ t_1\dfrac{a_2}{d_1} \sum_{k2}^{n-1}t_kx_1^*y_1^{(k)}, \ x_2 x_2^*y_1^\circ - t_1\dfrac{a_1}{d_1} \sum_{k2}^{n-1}t_kx_2^*y_1^{(k)}, \ x_i x_i^\circ \sum_{k2}^{n-1}t_kx_i^{(k)},\quad i3,\cdots,n. \end{aligned} $$这个逐元消去的过程可以反复进行每次把前两个系数合并为它们的 $\gcd$把 $n$ 元方程降为 $n-1$ 元方程最终归结为一连串二元方程而二元方程的通解公式是现成的。Frobenius 硬币问题裴蜀定理给出了一个整数可以由若干个整数线性表出的充分必要条件。与此紧密相关的是Frobenius 硬币问题Frobenius coin problem如果硬币共有 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 等若干种整数面值且 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)1$那么不能够由这些硬币组成的最大整数是多少同样是在考察整数 $k$ 什么时候可以表示为 $a_1x_1a_2x_2\cdotsa_nx_n$ 的形式两者的区别在于裴蜀定理中 $x_i$ 可以是任意整数而 Frobenius 硬币问题中 $x_i$ 只能是自然数不能欠账、不能找零。只有一种硬币的情形是平凡的因为只能有 $a_11$所有自然数都可以由它表示。而 $n2$ 的情形又太过复杂至今没有简单闭式所以本节仅讨论 $n2$ 的情形。Sylvester 定理在 1882 年Sylvester 完全解决了 $n2$ 时的 Frobenius 硬币问题定理Sylvester对于互素的正整数 $a_1,a_2$不能够写作 $a_1x_1a_2x_2~(x_1,x_2\in\mathbf N)$ 的最大整数是 $C a_1a_2 - a_1 - a_2$。而且对于所有 $k\in\mathbf Z$整数 $k$ 和 $C-k$ 中有且只有一个可以写作该形式。为表述方便称可以写作 $a_1x_1a_2x_2~(x_1,x_2\in\mathbf N)$ 形式的整数为可表示的。该定理同时给出了两个信息最大不可表示数Frobenius 数的精确值以及$k$ 与 $C-k$ 恰好一个可表示的对称性。$Ca_1a_2-a_1-a_2$ 是 $O(a_1a_2)$ 级别的量直接枚举验证在小数据下可行但大规模数据需依赖理论结果。证明一由于 $a_1,a_2$ 互素对于任意整数 $k$方程 $a_1x_1a_2x_2k$ 一定有解且通解为$$ (x_1,x_2) (x_1^\circ ta_2, x_2^\circ - ta_1).\quad(t\in\mathbf Z) $$取 $t$ 为 $x_2^\circ$ 对 $a_1$ 作带余除法得到的商那么余数 $x_2 x_2^\circ-ta_1$ 位于 $0$ 和 $a_1-1$ 之间。考察此时得到的一组解 $(x_1,x_2)$。因为 $x_2$ 是它能够取到的最小非负整数值所以 $n$ 可表示当且仅当 $x_1\ge 0$。第一步证明大于 $C$ 的整数都是可表示的。当 $k C$ 时有$$ a_1x_1 k - a_2x_2 C - a_2(a_1-1) -a_1. $$所以 $x_1 -1$也就是说 $x_1\ge 0$。这说明 $(x_1,x_2)$ 是一组自然数解此时 $k$ 可以写作所求形式。第二步证明 $C$ 不可表示。进而 $C$ 是最大的不可表示的整数且 $k$ 和 $C-k$ 并非都可表示。反证法假设 $C$ 可以表示即存在 $x_1,x_2\in\mathbf N$ 使得 $a_1x_1a_2x_2C$ 成立。代入 $C$ 的表达式可知$$ a_1a_2 a_1(x_11) a_2(x_21). $$因此 $a_2\mid (x_11)$ 且 $a_1\mid (x_21)$。又因为 $x_11,x_21$ 都是正数所以有$$ a_1a_2 \ge a_1a_2 a_2a_1 2a_1a_2. $$矛盾。这就说明 $C$ 不可表示。结合第一步它也就是不可表示的最大整数。如果 $k$ 和 $C-k$ 都可以表示那么将 $k$ 和 $C-k$ 的表示中的系数相加就得到 $C$ 的表示中的系数这与 $C$ 不可表示矛盾故而 $k$ 和 $C-k$ 至多只有一个可以表示。第三步证明如果 $k$ 不可表示那么 $C-k$ 一定是可表示的。设 $(x_1,x_2)$ 是方程 $a_1x_1a_2x_2k$ 的整数解。前文已经说明 $k$ 不可表示等价于 $x_10$。因此有$$ C - k a_1a_2 - a_1 - a_2 - a_1x_1 - a_2x_2 a_1(-1-x_1) a_2(a_1-1-x_2). $$其中 $-1-x_1$ 和 $a_1-1-x_2$ 都是非负整数所以 $C-k$ 可以表示。综合三步定理得证。证明二剩余系视角此处仅证明 $Ca_1a_2-a_1-a_2$ 是最大的不可表示的自然数。考虑模 $a_2$ 意义下每个剩余系中最小的可表示自然数。因为同一个剩余系中的不同自然数可以通过加减若干个 $a_2$ 互相转化所以在讨论最小可表示数时只需要考虑加减 $a_1$ 的可能性就可以了。由于 $a_1$ 和 $a_2$ 互素每个剩余系中最小的可表示自然数恰好就是 $a_1$ 的倍数$$ 0,~a_1,~2a_1,~\cdots,~(a_2-1)a_1. $$因此最大的不可表示数为$$ \max_{0\le i a_2} ia_1 - a_2 (a_2-1)a_1 - a_2 C. $$这个证明直观地揭示了 Sylvester 公式的结构$a_1$ 的 $a_2$ 个倍数在模 $a_2$ 下遍历全部剩余系其中最大的那个倍数再减去 $a_2$ 就是不可表示数的上界。几何意义将方程 $a_1x_1 a_2x_2 k$ 看作是一条直线。那么 $k$ 可表示当且仅当这条直线在第一象限包括坐标轴内通过一个整点。当 $k ab$ 时这条直线在第一象限至多只能通过一个整点。因此对于 $0\le k ab$整数 $k$ 可以表示当且仅当 $k$ 在第一象限通过恰好一个整点。因此小于 $k ab$ 且可以表示的自然数的数量恰好等于第一象限内直线 $a_1x_1 a_2x_2 k$ 下的整点个数包含边界上的点。这一数量就等于$$ \sum_{i0}^{\lfloor k / a_1 \rfloor} \left\lfloor\dfrac{k-ia_1}{a_2}\right\rfloor. $$这是经典的直线下整点问题可以用类欧几里得算法在 $O(\log\min{a_1,a_2,k})$ 时间求解。类欧几里得算法正是处理形如$$ f(a,b,c,n)\sum_{i0}^n\left\lfloor \frac{aib}{c} \right\rfloor $$这类求和的标准工具它利用分数自身的递归结构先对 $a,b$ 取模化简再通过交换求和次序得到规模更小的递归式最终在 $O(\log\min{a,c})$ 时间内完成求解。仓库中 euclidean-0.cpp 给出了该算法的可直接运行实现核心递归式为long long solve(long long a, long long b, long long c, long long n) { long long n2 n * (n 1) / 2; if (a c || b c) return solve(a % c, b % c, c, n) (a / c) * n2 (b / c) * (n 1); long long m (a * n b) / c; if (!m) return 0; return m * n - solve(c, c - b - 1, a, m - 1); }把上式的 $a,b,c,n$ 分别替换为 $a_1,a_2,k$ 场景下的对应参数即可用于统计 $kab$ 时可表示自然数的个数。整个裴蜀定理 → 一次不定方程 → 直线下整点计数的链条展现了同一个线性组合问题在不同约束系数符号、计数目标下演化的完整谱系。习题Luogu P3951 / NOIP2017 提高组小凯的疑惑蓝桥杯 2013 省赛买不到的数目——给出两个互素正整数 $a,b$求最大的不能表示为 $axby$$x,y$ 为非负整数的数。这正是 Sylvester 定理的直接应用答案即 $ab-a-b$。用本文的定理可在一行内求解而无需枚举验证。小结从裴蜀定理出发本篇文章覆盖了一条完整的知识链裴蜀定理本身线性组合与最大公约数的等价关系含构造性证明与互素推论、多整数推广扩展欧几里得算法定理存在性证明的算法化落地用于求出 $axby\gcd(a,b)$ 的具体解并给出了解的绝对值上界 $|x|\le b,|y|\le a$一次不定方程二元情形的特解齐次通解公式以及通过逐元合并 gcd推广到 $n$ 元的通解构造Frobenius 硬币问题当系数限制为自然数时Sylvester 定理给出 $n2$ 情形的精确答案 $a_1a_2-a_1-a_2$其几何诠释将问题转化为直线下整点计数进而可用类欧几里得算法高效求解。上述内容的核心参考资料位于仓库的 docs/math/number-theory/bezouts.md配套的扩展欧几里得实现见 docs/math/number-theory/gcd.md类欧几里得算法的推导与代码见 docs/math/number-theory/euclidean.md 与 docs/math/code/euclidean/euclidean-0.cpp线性同余方程求解示例见 docs/math/code/linear-equation/linear-equation.cpp。建议读者在 OI / ICPC 训练中将裴蜀定理与扩展欧几里得算法、类欧几里得算法放在一起系统复习三者共同构成处理整系数线性问题的基础工具集。【免费下载链接】OI-wiki:star2: Wiki of OI / ICPC for everyone. 某大型游戏线上攻略内含炫酷算术魔法项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考

OI-wiki 裴蜀定理全解：从 Bezout 恒等式到一次不定方程与 Frobenius 硬币问题

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