【 C++ 】AVL树-北京尧图网络

目录1、底层结构2、AVL树的概念3、AVL树节点的定义4、基本框架5、AVL树的插入6、AVL树的旋转左单旋右单旋左右双旋右左双旋7、AVL树的验证8、AVL树的查找9、AVL树的删除了解10、AVL树的性能1、底层结构前面对map、multimap、set、multiset进行了简单的介绍这几个容器有个共同点是其底层都是按照二叉搜索树来实现的但是二叉搜索树有其自身的缺陷假如往树中插入的元素有序或者接近有序二叉搜索树就会退化成单支树时间复杂度会退化成O(N)因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理即采用平衡树来实现。2、AVL树的概念二叉搜索树虽可以缩短查找的效率但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树查找元素相当于在顺序表中搜索元素效率低下。因此两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法当向二叉搜索树中插入新结点后如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)即可降低树的高度从而减少平均搜索长度。一棵AVL树或者是空树或者是具有以下性质的二叉搜索树它的左右子树都是AVL树任何一颗左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)0代表左右高度相等1代表右子树高1-1代表左子树高1下面给出一幅图来判断是否为AVL树如果一棵二叉搜索树是高度平衡的相对平衡它就是AVL树。如果它有n个结点其高度可保持在O(logN)搜索时间复杂度O(logN)。3、AVL树节点的定义这里我们实现的AVL树为KV模型自然节点的模板参数有两个并且节点定义为三叉连结构左孩子右孩子父亲在二叉链表的基础上加了一个指向父结点的指针域使得即便于查找孩子结点又便于查找父结点。接着还需要创建一个变量_bf作为平衡因子右子树 - 左子树的高度差。最后写一个构造函数初始化变量即可。//节点类 templateclass K, class V struct AVLTreeNode { //存储的键值对 pairK, V _kv; //三叉连结构 AVLTreeNodeK, V* _left;//左孩子 AVLTreeNodeK, V* _right;//右孩子 AVLTreeNodeK, V* _parent;//父亲 //平衡因子_bf int _bf;//右子树 - 左子树的高度差 //构造函数 AVLTreeNode(const pairK, V kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _bf(0) {} };4、基本框架此部分内容为AVL树的类主要作用是来完成后续的插入旋转删除……操作//AVL树的类 templateclass K, class V class AVLTree { typedef AVLTreeNodeK, V Node; public: //…… private: Node* _root; };5、AVL树的插入插入主要分为这几大步骤1、一开始为空树直接new新节点2、一开始非空树寻找插入的合适位置3、找到插入的合适位置后进行父亲与孩子的双向链接4、更新新插入的节点祖先的平衡因子5、针对不合规的平衡因子进行旋转调整接下来对其进行逐个分析1、一开始为空树直接new新节点因为树为空的所以直接new一个新插入的节点将其作为根_root即可接着更新平衡因子_bf为0最后返回true。2、一开始非空树寻找插入的合适位置这里和二叉搜索树的寻找合适的插入位置的思想一样都要遵循以下几步插入的值节点的值更新到右子树查找插入的值节点的值更新到左子树查找插入的值节点的值数据冗余插入失败返回false当循环结束的时候就说明已经找到插入的合适位置即可进行下一步链接。3、找到插入的合适位置后进行父亲与孩子的双向链接注意这里节点的构成为三叉链因此最后链接后端孩子和父亲是双向链接具体操作如下插入的值父亲的值把插入的值链接在父亲的右边插入的值父亲的值把插入的值链接在父亲的左边因为是三叉连插入后记得双向链接孩子链接父亲走到这说明节点已经插入完毕但是接下来就要更新平衡因子了4、更新新插入的节点祖先的平衡因子当我们插入新节点后子树的高度可能会发生变化针对这一变化我们给出以下要求子树的高度变了就要继续往上更新子树的高度不变则更新完成子树违反平衡规则平衡因子的绝对值 2则停止更新需要旋转子树进行调整具体的更新规则如下新增结点在parent的右边parent的平衡因子新增结点在parent的左边parent的平衡因子--每更新完一个节点的平衡因子后都要进行如下判断如果parent的平衡因子等于-1或者1说明原先是0左右登高插入节点后使左子树或右子树增高了。表明还需要继续往上更新平衡因子。如果parent的平衡因子等于0说明原先是1或-1一高一低插入节点后填上了矮的那一方表明无需更新平衡因子了。如果parent的平衡因子等于-2或者2说明原先是1或-1一高一低插入节点后填上了高的那一方表明此时以parent结点为根结点的子树已经不平衡了需要进行旋转处理。图示如下5、针对不合规的平衡因子进行旋转调整当父亲parent的平衡因子为2或-2时就要进行旋转调整了而又要分为以下4类进行旋转当parent的平衡因子为2cur的平衡因子为1时进行左单旋。当parent的平衡因子为-2cur的平衡因子为-1时进行右单旋当parent的平衡因子为-2cur的平衡因子为1时进行左右双旋。当parent的平衡因子为2cur的平衡因子为-1时进行右左双旋。代码如下//Insert插入 bool Insert(const pairK, V kv) { //1、一开始为空树直接new新节点 if (_root nullptr) { //如果_root一开始为空树直接new一个kv的节点更新_root和_bf _root new Node(kv); _root-_bf 0; return true; } //2、寻找插入的合适位置 Node* cur _root;//记录插入的位置 Node* parent nullptr;//保存parent为cur的父亲 while (cur) { if (cur-_kv.first kv.first) { //插入的值节点的值 parent cur; cur cur-_right;//更新到右子树查找 } else if (cur-_kv.first kv.first) { //插入的值节点的值 parent cur; cur cur-_left;//更新到左子树查找 } else { //插入的值节点的值数据冗余插入失败返回false return false; } } //3、找到了插入的位置进行父亲与插入节点的链接 cur new Node(kv); if (parent-_kv.first kv.first) { //插入的值父亲的值链接在父亲的右边 parent-_right cur; } else { //插入的值父亲的值链接在父亲的左边 parent-_left cur; } //因为是三叉连插入后记得双向链接孩子链接父亲 cur-_parent parent; //4、更新新插入节点的祖先的平衡因子 while (parent)//最远要更新到根 { if (cur parent-_right) { parent-_bf;//新增结点在parent的右边parent的平衡因子 } else { parent-_bf--;//新增结点在parent的左边parent的平衡因子 -- } //判断是否继续更新 if (parent-_bf 0)// 1 or -1 - 0 填上了矮的那一方 { //1 or -1 -》 0 填上了矮的那一方此时正好无需更新 break; } else if (parent-_bf 1 || parent-_bf -1) { //0 -》 1或-1 此时说明插入节点导致一边变高了继续更新祖先 cur cur-_parent; parent parent-_parent; } else if (parent-_bf 2 || parent-_bf -2) { //1 or -1 -》2或-2 插入节点导致本来高的一边又变更高了 //此时子树不平衡需要进行旋转 if (parent-_bf 2 cur-_bf 1) { RotateL(parent);//右边高左单旋 } else if (parent-_bf -2 cur-_bf -1) { RotateR(parent);//左边高右单旋 } else if (parent-_bf -2 cur-_bf 1) { RotateLR(parent);//左右双旋 } else if (parent-_bf 2 cur-_bf -1) { RotateRL(parent);//右左双旋 } break; } else { //插入之前AVL树就存在不平衡树|平衡因子| 2的节点 //实际上根据前面的判断不可能走到这一步不过这里其实是为了检测先前的插入是否存在问题 assert(false); } } return true; }6、AVL树的旋转AVL树的旋转分为4种左单旋右单旋左右双旋右左双旋AVL树的旋转要遵循下面两个原则1、保持搜索树的规则2、子树变平衡左单旋条件新节点插入较高右子树的右侧图示鉴于左单旋的情况非常多这里我们画一张抽象图来演示这里的长方形条a、b、c表示的是子树h为子树的高度而30和60为实打实的节点。上述左单旋操作主要是完成了四件事让subRL变成parent的右子树更新subRL的父亲为parent让subR变成根节点让parent变成subR的左子树更新parent的父亲为subR更新平衡因子注意parent可能为整棵树的一个子树则需要链接parent的父亲和subR。subRL可能为空但是更新subRL的父亲为parent是建立在subRL不为空的前提下完成的。解释为何上述左单旋的可行性首先根据底层二叉搜索树的结构b节点的值肯定是在30~60之间的b去做30的右子树没有任何问题且这里把60挪到根部随即把30作为60的右子树这样整体的变化就像是一个左旋一样而且也满足二叉搜索树的性质且均平衡。代码如下void RotateL(Node* parent) { Node* subR parent-_right; Node* subRL subR-_left; Node* ppNode parent-_parent;//提前保持parent的父亲 //1、建立parent和subRL之间的关系 parent-_right subRL; if (subRL)//防止subRL为空 { subRL-_parent parent; } //2、建立subR和parent之间的关系 subR-_left parent; parent-_parent subR; //3、建立ppNode和subR之间的关系 if (parent _root) { _root subR; _root-_parent nullptr; } else { if (parent ppNode-_left) { ppNode-_left subR; } else { ppNode-_right subR; } subR-_parent ppNode;//三叉链双向链接关系 } //4、更新平衡因子 subR-_bf parent-_bf 0; }右单旋条件新节点插入较高左子树的左侧图示同样这里的长方形条a、b、c表示的是子树h为子树的高度而30和60为实打实的节点。上述左单旋操作主要是完成了四件事让subLR变成parent的左子树更新subLR的父亲为parent让subL变成根节点让parent变成subL的右子树更新parent的父亲为subL更新平衡因子注意parent可能为整棵树的一个子树则需要链接parent的父亲和subL。subLR可能为空但是更新subLR的父亲为parent是建立在subLR不为空的前提下完成的。代码如下//2、右单旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL parent-_left; Node* subLR subL-_right; Node* ppNode parent-_parent; //1、建立parent和subLR之间的关系 parent-_left subLR; if (subLR) { subLR-_parent parent; } //2、建立subL和parent之间的关系 subL-_right parent; parent-_parent subL; //3、建立ppNode和subL的关系 if (parent _root) { _root subL; _root-_parent nullptr; } else { if (parent ppNode-_left) { ppNode-_left subL; } else { ppNode-_right subL; } subL-_parent ppNode;//三叉链双向关系 } //4、更新平衡因子 subL-_bf parent-_bf 0; }左右双旋条件新节点插入较高左子树的右侧接下来图示解析左右双旋的具体解法。1、插入新节点此类模型既不满足左单旋的条件也不满足右单旋的条件但是我们可以将其组合起来即左右双旋先左单旋再右单旋的办法重新建立平衡。接下来执行下一步左单旋2、以节点30subL为旋转点左单旋此时再观察这幅图这部就是一个妥妥的右单旋模型吗把60的左子树看成一个整体此时新插入的节点即插入较高左子树的左侧刚好符合右单旋的性质接下来即可进行右单旋3、以节点90parent为旋转点进行右单旋此时左右双旋已经完成最后一步为更新平衡因子但是更新平衡因子又分如下三类1、当subLR原始平衡因子是-1时左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0。2、当subLR原始平衡因子是1时左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0。3、当subLR原始平衡因子是0时左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0。这里可以看出唯有subLR平衡因子为0的情况下在进行左右旋转后三个节点的平衡因子都要更新为0。代码如下//3、左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL parent-_left; Node* subLR subL-_right; int bf subLR-_bf;//提前记录subLR的平衡因子 //1、以subL为根传入左单旋 RotateL(subL); //2、以parent为根传入右单旋 RotateR(parent); //3、重新更新平衡因子 if (bf 0) { parent-_bf 0; subL-_bf 0; subLR-_bf 0; } else if (bf 1) { parent-_bf 0; subL-_bf -1; subLR-_bf 0; } else if (bf -1) { parent-_bf 1; subL-_bf 0; subLR-_bf 0; } else { assert(false);//此时说明旋转前就有问题检查 } }右左双旋条件新节点插入较高右子树的左侧接下来图示解析左右双旋的具体解法。1、插入新节点注意这里的新节点插在了较高右子树的左侧不能用上文的单旋转以及左右旋转相反而应使用右左旋转先右单旋再左单旋来解决接下来执行下一步右单旋2、以节点90subR为旋转点右单旋此时再观察这幅图这部就是一个妥妥的左单旋模型吗把60的右子树看成一个整体此时新插入的节点即插入较高右子树的右侧刚好符合左单旋的性质接下来即可进行左单旋3、以节点30parent为旋转点左单旋此时左右双旋已经完成最后一步为更新平衡因子但是更新平衡因子又分如下三类1、当subRL原始平衡因子是-1时右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、1、0。2、当subRL原始平衡因子是1时右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为-1、0、0。3、当subRL原始平衡因子是0时右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、0、0。这里可以看出唯有subRL平衡因子为0的情况下在进行左右旋转后三个节点的平衡因子都要更新为0。代码如下//4、右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR parent-_right; Node* subRL subR-_left; int bf subRL-_bf;//提前记录subLR的平衡因子 //1、以subL为根传入左单旋 RotateR(subR); //2、以parent为根传入右单旋 RotateL(parent); //3、重新更新平衡因子 if (bf 0) { parent-_bf 0; subR-_bf 0; subRL-_bf 0; } else if (bf 1) { parent-_bf -1; subR-_bf 0; subRL-_bf 0; } else if (bf -1) { parent-_bf 0; subR-_bf 1; subRL-_bf 0; } else { assert(false);//此时说明旋转前就有问题检查 } }7、AVL树的验证AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制因此要验证AVL树就是看它是否为二叉搜索树以及是否为一颗平衡树。接下来分别讨论1、验证其为二叉搜索树这里我们只需要进行中序遍历看看结果是否可得到一个有序的序列如果可以则证明是二叉搜索树而中序遍历的实现非常简单先前的二叉搜索树的实现已然完成过这里直接给出代码//中序遍历的子树 void _InOrder(Node* root) { if (root nullptr) return; _InOrder(root-_left); cout root-_kv.first ; _InOrder(root-_right); } //中序遍历 void InOrder() { _InOrder(_root); cout endl; }检测是否为二叉搜索树的代码实现后接下来开始验证是否为平衡树。2、验证其为平衡树规则如下递归的思想空树也是平衡树一开始就要判断封装一个专门计算高度的函数递归计算高度后续用来计算高度差平衡因子diff如过diff不等于root的平衡因子root-_bf或root平衡因子的绝对值超过1则一定不是AVL树继续递归到子树右树直至结束代码如下//验证一棵树是否为平衡树 bool IsBalanceTree() { return _IsBalanceTree(_root); } //判读是否平衡的子树 bool _IsBalanceTree(Node* root) { //空树也是AVL树 if (nullptr root) return true; //计算root节点的平衡因子diff即root左右子树的高度差 int leftHeight _Height(root-_left); int rightHeight _Height(root-_right); int diff rightHeight - leftHeight; //如果计算出的平衡因子与root的平衡因子不相等或root平衡因子的绝对值超过1则一定不是AVL树 if ((abs(diff) 1)) { cout root-_kv.first 节点平衡因子异常 endl; return false; } if (diff ! root-_bf) { cout root-_kv.first 节点平衡因子与root的平衡因子不等不符合实际 endl; return false; } //继续递归检测直到结束 return _IsBalanceTree(root-_left) _IsBalanceTree(root-_right); } //求高度的子树 int _Height(Node* root) { if (root nullptr) return 0; int lh _Height(root-_left); int rh _Height(root-_right); return lh rh ? lh 1 : rh 1; }综合上述两大步骤的操作即可对一棵树充分的验证是否为AVL树。8、AVL树的查找Find查找函数的思路很简单定义cur指针从根部开始按如下规则遍历若key值小于当前结点的值则应该在该结点的左子树当中进行查找。若key值大于当前结点的值则应该在该结点的右子树当中进行查找。若key值等于当前结点的值则查找成功返回true。若遍历一圈cur走到nullptr了说明没有此结点返回false//Find查找 bool Find(const K key) { Node* cur _root; while (cur) { if (cur-_key key) { cur cur-_right;//若key值大于当前结点的值则应该在该结点的右子树当中进行查找。 } else if (cur-_key key) { cur cur-_left;//若key值小于当前结点的值则应该在该结点的左子树当中进行查找。 } else { return true;//若key值等于当前结点的值则查找成功返回true。 } } return false;//遍历一圈没找到返回false }9、AVL树的删除了解因为AVL树也是二叉搜索树主要是三个大思路按二叉搜索树的规则删除更新平衡因子出现不平衡需要旋转调整只不过与搜索二叉树的删除不同的是删除节点后的平衡因子需要不断更新最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体这里就不再实现了因为着实有点复杂。不过《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C描述》殷人昆版这两本书上是有详细的讲解的哈。10、AVL树的性能AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1这样可以保证查询时高效的时间复杂度即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作性能非常低下比如插入时要维护其绝对平衡旋转的次数比较多更差的是在删除时有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此如果需要一种查询高效且有序的数据结构而且数据的个数为静态的(即不会改变)可以考虑AVL树但一个结构经常修改就不太适合。

【 C++ 】AVL树

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