具身智能数学基础(04)：锐角三角比-北京尧图网络

内容必须掌握的后面在哪用到三角比的定义直角三角形中sin ⁡ θ \sin\thetasinθ、cos ⁡ θ \cos\thetacosθ、tan ⁡ θ \tan\thetatanθ的定义2D 旋转矩阵的四个元素、机械臂关节到末端位置的换算特殊角的值30 ° 30°30°、45 ° 45°45°、60 ° 60°60°的三个比值且知道怎么推心算校验、后面单位圆定义的锚点同角关系sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ 1 \sin^2\theta\cos^2\theta1sin2θcos2θ1tan ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ \tan\theta\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθcosθsinθ三角恒等变换的地基、四元数归一化的检验方式互余关系sin ⁡ ( 90 ° − θ ) cos ⁡ θ \sin(90°-\theta)\cos\thetasin(90°−θ)cosθ换算俯仰角与仰角、不同角度约定间的转换解直角三角形已知两个条件至少一边求其余边角三角测距、已知关节角求末端坐标仰角俯角与坡度仰角俯角是视线与水平线的夹角坡度i tan ⁡ α i\tan\alphaitanα传感器俯仰角、观测目标角度、地形可通过性评估一、三角比的定义在直角三角形里相对某个锐角θ \thetaθ三条边各有名字θ \thetaθ所对的边叫对边θ \thetaθ夹着的那条直角边叫邻边直角所对的边叫斜边。三个比值就用这三条边定义sin ⁡ θ 对边斜边 \sin\theta \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}sinθ斜边对边cos ⁡ θ 邻边斜边 \cos\theta \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}cosθ斜边邻边tan ⁡ θ 对边邻边 \tan\theta \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}tanθ邻边对边这三个比值只由角度θ \thetaθ决定与三角形的大小无关——把三角形放大缩小保持角度不变对边、邻边、斜边同比例伸缩比值不变。这正是相似三角形的性质第 3 篇sin ⁡ θ \sin\thetasinθ、cos ⁡ θ \cos\thetacosθ、tan ⁡ θ \tan\thetatanθ本质上就是角度和边长比例之间的一个固定对应关系。图中同一个直角三角形有两个锐角θ \thetaθ和90 ° − θ 90°-\theta90°−θ两锐角互余因为三角之和180 ° 180°180°减去直角90 ° 90°90°。换个顶点看对边和邻边互换对θ \thetaθ而言的对边正是对90 ° − θ 90°-\theta90°−θ而言的邻边。这一点直接推出下一节的互余关系。二、特殊角的值30 ° 30°30°、45 ° 45°45°、60 ° 60°60°这三个角的比值不是背下来的是从两个基本图形量出来的。30 ° 30°30°与60 ° 60°60°把等边三角形对半分。边长为2 22的等边三角形从一个顶点向对边作高把底边平分成两个1 11。这条高同时把顶角60 ° 60°60°平分成两个30 ° 30°30°。左半部分是一个直角三角形两条直角边是1 11和高h hh斜边是2 22由勾股定理h 2 2 − 1 2 3 h \sqrt{2^2-1^2} \sqrt{3}h22−123对60 ° 60°60°角底角即原等边三角形未被分割的角而言对边是3 \sqrt33邻边是1 11斜边是2 22对30 ° 30°30°角顶角的一半而言对边邻边互换对边是1 11邻边是3 \sqrt33。于是sin ⁡ 30 ° 1 2 \sin30° \dfrac12sin30°21cos ⁡ 30 ° 3 2 \cos30° \dfrac{\sqrt3}{2}cos30°23tan ⁡ 30 ° 1 3 3 3 \tan30° \dfrac{1}{\sqrt3}\dfrac{\sqrt3}{3}tan30°3133sin ⁡ 60 ° 3 2 \sin60° \dfrac{\sqrt3}{2}sin60°23cos ⁡ 60 ° 1 2 \cos60° \dfrac12cos60°21tan ⁡ 60 ° 3 \tan60° \sqrt3tan60°345 ° 45°45°等腰直角三角形。两条直角边都是1 11斜边由勾股定理是2 \sqrt22两个锐角都是45 ° 45°45°等腰三角形两底角相等且两角之和为90 ° 90°90°sin ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° 2 2 \sin45° \cos45° \dfrac{\sqrt2}{2}sin45°cos45°22tan ⁡ 45 ° 1 \tan45° 1tan45°1这套值不需要死记忘了当场用勾股定理现推就行——反正核心只是两个图形。三、同角关系与互余关系同角关系由勾股定理直接得到。设直角三角形三边为对边a aa、邻边b bb、斜边c cc满足a 2 b 2 c 2 a^2b^2c^2a2b2c2。两边同除以c 2 c^2c2( a c ) 2 ( b c ) 2 1 ⟹ sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ 1 \left(\dfrac{a}{c}\right)^2\left(\dfrac{b}{c}\right)^2 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\theta\cos^2\theta 1(ca)2(cb)21⟹sin2θcos2θ1另一条商数关系直接由定义得出sin ⁡ θ cos ⁡ θ a / c b / c a b tan ⁡ θ \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \dfrac{a/c}{b/c} \dfrac{a}{b} \tan\thetacosθsinθb/ca/cbatanθ互余关系直接从第一节的图读出来θ \thetaθ的对边正是90 ° − θ 90°-\theta90°−θ的邻边θ \thetaθ的邻边正是90 ° − θ 90°-\theta90°−θ的对边。斜边不变。所以sin ⁡ ( 90 ° − θ ) cos ⁡ θ \sin(90°-\theta) \cos\thetasin(90°−θ)cosθcos ⁡ ( 90 ° − θ ) sin ⁡ θ \cos(90°-\theta) \sin\thetacos(90°−θ)sinθ用第二节的值验证一下sin ⁡ 30 ° 1 2 \sin30°\dfrac12sin30°21cos ⁡ 60 ° 1 2 \cos60°\dfrac12cos60°21而90 ° − 30 ° 60 ° 90°-30°60°90°−30°60°两者相等对上了。四、解直角三角形已知直角三角形的两个条件至少含一条边求出其余所有边和角叫解直角三角形。可用的关系只有三条两锐角互余A B 90 ° AB90°AB90°勾股定理a 2 b 2 c 2 a^2b^2c^2a2b2c2边角关系sin ⁡ A a c \sin A\dfrac{a}{c}sinAca、cos ⁡ A b c \cos A\dfrac{b}{c}cosAcb、tan ⁡ A a b \tan A\dfrac{a}{b}tanAbaA AA是角a aa是它的对边按已知条件选用已知一边一角用边角关系直接求出另一边再用互余关系求另一角已知两边先用勾股定理求第三边再用边角关系求角。五、仰角、俯角与坡度仰角是视线在水平线上方时视线与水平线的夹角俯角是视线在水平线下方时的夹角。两者都是看向目标的方向与水平方向之间的夹角只是目标在上还是在下。已知观测点到目标的水平距离和垂直高度仰角就是θ arctan ⁡ 垂直高度水平距离 \theta \arctan\dfrac{\text{垂直高度}}{\text{水平距离}}θarctan水平距离垂直高度已知对边邻边求角度就是tan ⁡ \tantan的逆运算这是反三角函数的雏形第 9 行会正式定义。坡度也叫坡比衡量斜面的陡峭程度定义为竖直高度与水平距离之比i h l i \dfrac{h}{l}ilh坡度就是坡角的正切i tan ⁡ α i\tan\alphaitanαα \alphaα是坡面与水平面的夹角坡角。坡度通常写成1 : n 1:n1:n或百分比的形式比如坡度1 : 2 1:21:2就是i 0.5 i0.5i0.5对应坡角α arctan ⁡ 0.5 ≈ 26.6 ° \alpha\arctan0.5\approx26.6°αarctan0.5≈26.6°。对应视频正文看得懂就跳过卡住了再看对应那一段。一数的两个合集里都没有专门讲锐角三角函数定义和特殊角推导的一集——这块内容在标准教材里是九年级下学期的内容中考复习合集默认你已经会了直接跳到应用技巧。P19 直角中的特殊型25:04—可选。这集不讲定义是拿已经学过的30 ° / 45 ° / 60 ° 30°/45°/60°30°/45°/60°特殊角当辅助线技巧使用讲的是几何证明里怎么构造这类三角形跟本篇的定义和推导关系不大这一块以正文和课本为准视频没有必看项。

具身智能数学基础(04)：锐角三角比

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