第2章坤•承载二维的答案与三维的深渊-北京尧图网络

扎尔在MIT待了两个月。那两个月里悦儿和他在同一个走廊上隔了两道门每天碰面至少三次有时候在茶水间有时候在复印机旁边有时候在洗手台前面刷牙——数学系三楼的洗手间只有两个水龙头早晚高峰时段不可避免地发生排队。他们关于挂谷猜想的谈话也从正式变成了随意。最初还是在办公室的讨论后来变成了在走廊上擦肩而过时丢出去的一句话。再后来扎尔会在深夜敲悦儿的门手里端着一杯自动贩卖机买的廉价热巧克力杯子是纸的烫得他不停换手。悦儿就让他进来两个人对着黑板站着扎尔把杯子搁在窗台上从兜里掏出一支笔——他不是用粉笔的人永远用马克笔蓝色的那种写完了用纸巾擦。十一月的一个晚上扎尔在悦儿的黑板上画了一张表格。表格两列。左边是二维挂谷猜想右边是三维。左边的内容密密麻麻挤着七八行1971年Davies证明用的是最简单的覆盖引理总共六页纸1965年Córdoba给出了另一种证明更短只有四页到了1990年代数学家们甚至在二维中找到了精确的最佳常数。右边的部分除了第一行写了一个?其余全是空的。你看扎尔用蓝色的马克笔敲了敲左边这列二维的证明六页纸。1971年的技术现在看来就是本科生的习题水平。但三维——他在这列右边划了一条斜线指向那个问号。悦儿靠在桌沿上双手交叉在胸前盯着那个问号。Wolff在1995年推到了2.5。对。扎尔在问号下面写了2.5这个数字。Thomas Wolff普林斯顿的。他用了——一种几何组合的方法把管道分成三组每一组用一种不同的方式估算。悦儿替他接完。我读过那篇论文不下三十遍。扎尔看了她一眼。你记得所有细节大部分。扎尔在那个2.5下面又写了一行字2.5000000001。然后他退后一步让悦儿看清楚那行数字。这是谁悦儿问。TaoKatzLaba。1999年。推进了十的负十次方精确地说十的负十次方。扎尔放下笔端起那杯热巧克力喝了一口。已经凉了。他皱了皱眉还是咽了下去。他们用了一种叫做代数化的方法——把几何问题变成多项式问题。但从2.5到3之间横亘着整个二十世纪的调和分析都没能越过的鸿沟。悦儿没有说话。她走到黑板前面用粉笔在2.5000000001旁边画了一个小小的箭头指向那行数字后面留出的空白。她在那片空白里写了两个大写的字母Q. E. D. 然后在下面画了一条横线。你相信这个证明能写出来吗扎尔问。能。或者不能。悦儿转过身看他但如果你一开始就觉得不能——那就肯定不能。扎尔笑了这好像是我的话。是你的话。悦儿从窗台上拿起那块擦了一半的板擦把2.5和2.5000000001擦掉了只剩下那行Q. E. D.在空白中悬着像一个还没落地的承诺。但你现在是我的合作者了。你的话就是我的话。扎尔把凉透的热巧克力扔进了垃圾桶塑料杯底碰到桶底发出一声闷响。那我再问一个问题。二维和三维之间到底差了什么不是技术上的而是哲学上的。悦儿靠在窗台上冬天的风从窗缝渗进来吹得她后背发凉。她想了想说二维的挂谷集合可以被覆盖。你知道什么叫覆盖引理吗给一个集合找一个好的覆盖用有限个球球的半径和位置满足某种——对。悦儿打断他二维的覆盖引理很简单。因为二维的平面上任何一堆有方向的线段它们的交叉方式受到严格的限制。两根线要么平行要么相交。平行的时候没有交叉相交的时候只有一个点。二维只有这么两种关系。她伸出两根手指。两种。然后她伸出三根。三维。两根管道可以平行可以相交于一点可以相交于一条线——异面听说过吧两条线段在三维空间中完全可以不平行也不相交它们彼此路过像两架在不同高度飞行的飞机。三维的关系是连续的有无数种可能性。你没法用一个简单的二分法来处理它们。扎尔站在黑板的另一边马克笔在指间转了半圈。所以二维的工具到了三维全部失效。全部。悦儿说1971年的Davies证明里最关键的一步是什么一个平面只能被有限个方向的线段分割成有限个区域。对。每一个区域里的线段方向是连通的你可以用一个统一的估计来处理它们。但三维不行。三维中任意两个方向之间不一定有连通路径。方向空间是连通的但方向之间的空隙可以让管道绕过彼此而不交叉。这些不交叉的管道组合在一起——就构成了一个所谓的逃逸路径。扎尔说。对。悦儿看着他而只要存在哪怕一条逃逸路径整个多尺度归纳就全部崩塌。走廊里传来脚步声。有人经过门口脚步声顿了一下然后继续向前走去。悦儿和扎尔都没有转头。他们站在半明半暗的房间里黑板上的粉笔字在灯光下泛着白像一行行还没被刻进石头里的墓志铭。那天深夜悦儿回到自己的公寓时已经十二点多了。她住的地方离MIT不远走路二十分钟中间要穿过一条两旁都是老房子的街道。波士顿的十一月底已经降到了零度上下她裹着围巾走在没有人的街道上呼出的白气被路灯照得半透明。她想起了一种东西。贝西科维奇集合。这是挂谷猜想的另一个名字——如果你把一根针换成一组方向把扫过的面积换成集合的测度那个集合就叫做贝西科维奇集合。1919年俄国数学家贝西科维奇证明了平面上存在一个面积任意小的集合它包含所有方向的单位线段。悦儿第一次读到这个证明的时候她盯着那几页纸看了整整一个下午因为那个证明是错的——贝西科维奇的第一版证明有漏洞两年后他才修正。但修正之后的证明用了一种精妙的方法他在平面上构造了无数个细长的叉形状每一个叉覆盖两到三个方向然后通过不断叠加这些叉最终覆盖所有方向而总面积趋近于零。那个构造像一个拼图。每一块碎片都有面积但碎片之间的重叠几乎百分之百——所以总面积趋近于零。重叠。悦儿停在一盏路灯下面自言自语地念出了这个词。二维的贝西科维奇集合依靠的是完美重叠。每一块叉形碎片和其他碎片的覆盖面积几乎完全重合像鱼鳞一样层层叠叠。但在三维中碎片之间可能出现空隙那些空隙让重叠不再完美也让总面积不再趋近于零。挂谷猜想的核心问题其实就是三维中这些空隙能不能被全部填满如果能那三维的贝西科维奇集合也存在三维挂谷猜想是错的如果不能那三维挂谷猜想是对的但你需要证明空隙的存在是不可消除的。悦儿站在路灯下面冷风从巷口灌进来她打了个寒颤。她看了看手表十二点二十七分。手机屏幕亮了一瞬有条消息。她划开来看是一个陌生的号码。如果面积可以趋近于零那这个集合在现实中有物理意义吗没有署名。没有上下文。悦儿愣了几秒然后想起来——那个在报告会后拦住她的男人。量化交易的。墨衍。她从没给过他号码但他可能从报告会的签到表上找到了她的联系方式。她站在路灯下想了几秒钟。然后打了四个字数学不问。发送。她继续走路。走了大约二十米手机震了一下。可我问。悦儿停住了。她在空无一人的街道上站了很长时间。路灯把她的影子拉得很长拖在柏油路面上影子末端有一道裂纹是冬天冻出来的。她忽然想起一件事。2015年她在法国的那个冬天。那时候她刚从数学系退出来在建筑学院上课。那一天老师在讲空间的结构在讲体和面的关系在讲如何从二维平面推演出三维体积。她坐在阶梯教室的最后一排记着笔记忽然把笔放下了。她对着面前那张画满平面图的纸想起了自己在硕士阶段做过的那些关于傅里叶分析的报告想起了挂谷猜想想起了那根在二维平面上旋转的针。她忽然意识到建筑学在教她一件事所有的三维空间都是从二维平面长出来的。你没办法直接理解三维除非你先理解了二维在三维中如何承载那些方向。她把笔捡起来在笔记本的空白处写了一行字二维是三维的地基。但地基之上盖的东西完全不一样。那次之后不到一个月她退了建筑学的课。她回到了数学系回到了挂谷猜想面前。她花了整整三年的时间只做一件事理解三维方向空间中的重叠与空隙。回到公寓她脱了外套坐在床边没有开灯。手机还攥在手里屏幕上的那行字还在——可我问。她盯着那四个字然后打了几个字物理意义你不是说你在做交易吗发送。不到十秒回复来了交易也没有物理意义。它有意义是因为有人在做。悦儿看着那行字。她忽然觉得这个人说的话有一种奇怪的质地——不像数学那么精确不像哲学那么空泛倒像是站在一个窗户外面往房间里看的人说的话。窗户外面的人看不到房间里的全部细节但他能看到整栋房子的轮廓。她打了最后一行字二维的答案是平面上的针。三维的答案是针离开了平面。它不回答问题本身而是回答了为什么这个问题可以被问出来。然后她把手机放在枕头旁边关了灯。黑暗里她睁着眼睛天花板上有路灯投进来的一小块光斑像一个二维的月亮在三维的房间顶上移动。第二天早上她到办公室的时候黑板上还留着昨天晚上的那行Q. E. D.。粉笔字已经在黑板上干了一个整夜变成了一层薄薄的灰白色粉末手指轻轻一碰就会掉下来。她站在黑板前面看着那三个字母忽然觉得这可能是整个挂谷猜想对她说的第一句真话——Q. E. D.证明结束。但二维的证明结束之后三维的问题才刚刚开始。二维的答案像一块地厚实、沉稳、无可撼动所有的论证都压在上面不会变形。三维的问题是建在这块地上的塔塔身越来越高、越来越细、越来越容易倒塌。坤为地。承载万物的地。万物从地中生长出来但万物长成之后地面就不再是全部了。悦儿拿起粉笔在Q. E. D.下面写了一行小字三维的地基是二维。但三维的楼不是二维的重复。她把粉笔放回槽里走出办公室。走廊尽头那间报告厅正在举办一场跨学科的讲座——悦儿在通知栏上瞥过一眼好像是关于分形几何在自然科学中的应用。她本来不打算去听但她在茶水间接咖啡的时候碰到了墨衍。他端着同一只塑料杯里面是黑色的美式咖啡没加奶也没加糖。又来了悦儿问。MIT的学术讲座通知是公开的。墨衍说我只是恰好路过。恰好。恰好。他重复了一遍然后喝了一口咖啡被烫得皱了皱眉。悦儿端着咖啡转身要走。墨衍在她身后说你在那个讲座上会讲吗哪个分形几何那个。我是数学系的不是自然科学的。我也不研究分形。那你研究什么悦儿停住了脚步。她转过身看着墨衍。茶水间的灯是暖黄色的打在他深色的外套上把轮廓柔和了一圈。她忽然觉得这个人的问题其实都不是问句而是一种逼迫——逼迫她把那些用数字和公式包裹起来的东西拆开用最简单的句子说出来。我研究一种东西在三维空间中能有多小。她说小到趋近于零但又不能是零。那东西叫什么没名字。或者说有很多名字。挂谷集合。贝西科维奇集合。方向的集合。她把咖啡杯放下你以为你问的是一个物理意义的问题。但其实你问的是——一个东西可以小到什么程度同时还能保持完整。墨衍看着她没有接话。二维的答案告诉我它可以小到趋近于零。悦儿说三维的答案如果也是这样那意味着空间本身有一种性质——任何一组方向都可以被压缩到任意小的空间里。但如果三维的答案不是这样那就意味着三维空间比二维更大大到方向之间天然有空隙空隙永远填不满。这个区别——物理意义它定义了三维空间是什么。她端起咖啡走出了茶水间。墨衍站在原地杯子里的咖啡终于凉到了能入口的温度。他喝了一口然后对着空荡荡的走廊说了一句没有听众的话那你想要的答案——是空间的定义本身。那个下午悦儿在办公室里整理Davies的1971年证明。她手边有一份复印版的旧论文纸页已经泛黄边角被翻卷了。Davies的证明只有六页——实际上如果把那些多余的引理说明和参考文献去掉核心论证大概只有两页半。悦儿曾经把那两页半的论证抄写过一遍发现在纸面上占用不到巴掌大的空间。一个百年难题的二维版本核心论证就这么小。像一粒米一粒可以种出整片稻田的米。她看着那两页半的论证忽然明白了一件事二维挂谷猜想的证明之所以这么短是因为二维空间本身就短。它没有给方向留出逃逸的空隙。每一个方向和另一个方向之间只有一条路——平面上的任何两点之间都只有一种直线连接方式。二维是穷尽的、单调的、没有任何秘密的空间。三维不一样。三维中的两点之间有无数条路径管道可以绕行、上浮、下潜、扭曲像一个人走在没有边界的旷野里。她放下Davies的论文翻开了另一篇。Wolff1995。《关于三维挂谷集的下界估计》。这篇论文比Davies的长了十五倍满是复杂的分组计数和组合不等式。悦儿在这篇论文的页边写满了批注红色的、蓝色的、铅笔的层叠在一起像一座微型城市的建筑史。Wolff最终得到了2.5这个数字。那是什么意思意思是如果三维挂谷集存在它的维数至少是2.5。这比上一代数学家们得到的1.5或者2.0要好得多但离3还有一半的距离。那0.5的距离像一条银河。悦儿靠在椅背上闭上眼睛。她想起了1999年陶哲轩、卡茨和拉巴的那篇论文。那个2.5000000001像一根刺扎在所有做挂谷猜想的人心里。推进了十的负十次方用了当时最前沿的代数几何工具。那种推进方式像是用显微镜去丈量一座山——你在山脚下找到了一粒沙子把它的直径量到了小数点后十位但山还是那座山顶还在云层之上。她睁开眼睛看着天花板。天花板上有一道细长的裂缝从灯座的边缘延伸到窗户的方向。那道裂缝在三维空间中是一条线在二维的投影里也只是一条线。但她知道如果从另一个角度看过去那道裂缝可能是一个面的一部分可能是一个体积的边界。坤。至哉坤元万物资生乃顺承天。二维的答案像大地一样承载了三维的问题像土地承载树木像地基承载高楼。没有二维的1.0就没有三维的2.5和2.5000000001没有Davies的那六页纸就没有Wolff的那七十页和Tao的那一百二十页。但承载者永远不是终点。大地让种子发芽但种子长成的树跟大地完全不同。悦儿从椅子上坐起来拿起粉笔。黑板上那行Q. E. D.还在。她在这行字的左右两边分别写了两个数字左边写2右边写3。然后她在中间画了一道竖线。二维的答案已经在这里了。三维的答案在竖线那边。她不知道要走多久才能跨过去。但她在2019年那个冬天站在了竖线的正中间——左手是已经做完了的一切右手是可能永远做不完的一切。她往前迈了一步。粉笔灰落下来在灯光中慢慢沉降像二维平面上一场安静的小雪。

第2章坤•承载二维的答案与三维的深渊

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