Chambolle-Pock算法（CP算法）

CP算法原始最小化公式的一般形式如下对偶最大化的一般形式为推导过程如下引入约束条件则目标函数化为接下来引入拉格朗日乘子构造拉格朗日函数注意这里我们采用标准的拉格朗日形式约束为所以乘子是。拉格朗日对偶函数d(y)定义为拉格朗日函数关于原始变量 (x,z)的下确界最小值代入 L 的表达式将x和z分开可得对于一个任意的凸函数我们想要用仿射函数从下方逼近仿射函数的一般形式可表示为但是在这篇文章中我们使用下面介绍一下是怎么来的首先内积可表示为则当时常数函数这是一个平面当时由内积定义可知这是许多个经过原点的斜率为y的平面当时为不经过原点的一般形式。我们希望则使仿射函数始终在H(x)的下方所以要使等式成立则c满足对的上界sup即上界。经过上述解释我们知道了对于任意凸函数H其共轭为则对于上面算出来的拉格朗日函数表达式我们可以将其分开写成如下形式取最大化则可得到对偶最大化的一般形式对于原始问题和对偶问题可以统一写成鞍点问题推导过程如下先对Z求极小这样我们就推导出了原始问题和对偶问题可以统一写成鞍点问题现在对于近端算子做解释近端算子的目标函数可以写成如下函数形式在上述公式中的作用是当c远离z时这项很大会变成惩罚当c接近z时这项很小允许。当a很小时很大会严厉惩罚远离z的点反之a很大时更加关注的是最小化H(c)这个最邻近映射本质上是一个最优化问题。当我们知道所有的推导公式时现在可以看一下CP算法的主框架。第一步参数L需要通过计算得出L为矩阵的最大奇异值也即二范数。在CT重建中K通常会是系统矩阵无法直接计算所以采用迭代逼近的方法去靠近真实的L迭代次数一般在20次左右。第五步推导过程如下可以知道目标函数是要求可以得到在附近添加二次正则项则上式会变成转化为最小化问题令这样这时候有的兄弟就要问了配方是怎么配出来的请看接下来的两个推导公式就明白了;接下来也是同样的配方法这里就不再赘述了。这样就推导出了CP算法的所有公式。注这篇文章仅供自己学习使用不代表官方观点这也是我第一次学习CP算法其中有不足之处欢迎大家在评论区提问指正感谢观看参考文章[1]汤豪威.基于旋转扫描的板状物体CL迭代重建算法研究[D].中北大学.