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【高等数学-第五章】【综合习题】二重积分
文章目录一. 选择1. 利用二重积分不等式性质2. 二重积分定义的形式1. 积分形式2.被积函数交换积分次序极坐标到直角坐标二. 填空题1. 根据被积函数看成一元找到正负的边界2. 画对积分区域的步骤2. 交换积分次序2.1. 当前积分不好积分时2.2. 极坐标系看成直角坐标系进行积分广义极坐标ing(不要求)极坐标下的二重积分面积与体积积分区域可由曲线满足的意义来决定由定义限定截取为积分区域、被截的为被积函数形心求导公式三. 解答题1. 不同区域下的积分2. 关于yx对称与不好积分变换极坐标3. 二重积分求导求导变量替换到第二个积分限中交换积分次序二重积分求导、微分方程将x看成常数、积分中值定理多元微分定义几何应用质心、形心四. 拓展题一. 选择1. 利用二重积分不等式性质B利用二重积分不等式性质函数大小父函数递减2. 二重积分定义的形式1. 积分形式2.被积函数交换积分次序极坐标到直角坐标对先由极坐标θ和r的取值范围可直接化为直角坐标的上下限的表达式。画图定先后积分次序。二. 填空题1. 根据被积函数看成一元找到正负的边界通过被积函数的的正负来划分不同的积分区域2. 画对积分区域的步骤把握复合函数的范围画图像时别跳步2. 交换积分次序2.1. 当前积分不好积分时对2.2. 极坐标系看成直角坐标系进行积分变换积分次序注意这不是极坐标系是直角坐标系进而简化积分。变换坐标5.1. 技巧是可以将极坐标将θ看成xr看成y5.2. 注意求反函数时θ的值由sinx的图像可知0到π的arcsinx图像广义极坐标ing(不要求)广义极坐标ing极坐标下的二重积分面积与体积积分区域可由曲线满足的意义来决定求面积由r可得出θ的符合范围极坐标变换公式θ和r的变化区间。由定义限定截取为积分区域、被截的为被积函数求截面体积圆柱面是限定区域因为是关于x、y的积分所以分离出z。限定部分有上下两部分由对称性分成4份。极坐标为圆柱面。形心求导公式形心坐标公式面积形心心型线公式三. 解答题1. 不同区域下的积分不同x看成整体积分2. 关于yx对称与不好积分变换极坐标抓住积分特点2.1. 关于yx对称xy的互换性2.2. 不好积分变为极坐标积分tanx积分公式3. 二重积分求导求导变量替换到第二个积分限中对二重积分求导交换积分次序1.1 规整1求导时x不能在积分上下限中出现1.2. 规整2对t求导首次积分上下限中不能有t求导时2.1. 首次积分y替换为t2.2. 求导时被积函数不能有t需进行变换利用一元积分求导公式补充题被积函数不能含有变上限参数所以要交换积分次序分清楚积分变量与求导变量对于积分可以将其他变量的式子提出来对于对y求导积分限中要含有对应变量y交换积分次序对注意对边界点的验证二重积分求导、微分方程对5.1. 化成极坐标系5.2. 容易看到θ和r比较容易分离然后分别积分再洛必达。下图方法比较复杂6. 二重积分与微分方程二重积分与一阶线性微分方程将x看成常数、积分中值定理多元微分定义8.1. 将x看成常数8.2. 交换积分次序求导参数x放到一侧积分用于简化求导8.3. 利用积分中值定理x看成常数8.4. 微分展开积分中值定理的定义(对) 设二重积分是一个数几何应用质心、形心质心公式极坐标变直角坐标二重积分求导的公式凑求导定义四. 拓展题直接带入y(x)三角函数积分公式
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