《数值分析小白笔记03：高斯消元法与LU算法》-北京尧图网络

这周的课程老师给我们讲解了高斯消元法和LU分解法。听着这些名词有点高大上实则也是数学里面的线性代数知识。换了一个叫法。我从老师给的网址网盘里下载对应的教材文件。如有需要电子教材的可以评论区留言上课的时候老师不仅提及到了高斯消元还有提及到列主元。我的天一看目录才发现老师上课是跳着讲的知识一下到了第九章以后。老师讲的有点太跳跃我就凭借记忆复现一下知识内容。原始高斯消去法、LU分解法、高斯-赛德尔法、高斯列主元消去法1、原始高斯消去法看不懂跳过这个段文字我们直接看例子哦第一行第一列的元素是2把它下面的消出两个0行变换-3、-2变为0第二行第二列的元素是0.5把它下面的消出1个0行变换2变为0列方程式解方程2、LU分解法假装看不懂咱跳过这个段文字我们直接看例子AXB哦系数矩阵A可以由两个矩阵相乘而得即矩阵A 下三角矩阵L×上三角矩阵ULU两个矩阵相乘再验算一下是否等于矩阵A。3、高斯列主元消去法咱们直接看例子吧哦和原始高斯消元法类似的只是主元由于换了行但是解是不变的。4、高斯-赛德尔法没看明白啊来我们上栗子。这是啥迭代公式没看懂啊哦这么算4x1−x23 那么x1 3x2/4−x14x2−x34 那么x2 4x1x3/4−x24x35 那么x3 5x2/4(1) x1 3x2/4 令x20那么x13/40.75(2) x2 4x1x3/4 在上式(1)中已得x10.75令x30那么x2(40.750)/41.1875(3) x3 5x2/4 在上式(1)和(2)中已得x10.75x21.1875那么x3(51.1875)/4如此就获得了x10.75、x21.1875、x31.546875 第一次迭代在第一次迭代中我们已经获得了下面的等式4x1−x23 那么x1 3x2/4−x14x2−x34 那么x2 4x1x3/4−x24x35 那么x3 5x2/4第一次迭代我们最开始令x20以后获得一组解如下x10.75、x21.1875、x31.546875 第一次迭代第二次迭代我们这次不令x20我们直接令第一次迭代获得的x21.1875x31.546875这些带入去计算x1 3x2/437.1875/41.046875x2 4x1x3/441.0468751.546875/41.6484375x3 5x2/451.6484375/41.662109375得到了一组新的解以上为第二次迭代。第三次迭代x21.6484375x31.662109375继续往方程里面带入计算又会得到一组解。以此类推。我们是来学软件学算法的怎么弄了半天matlab都还没上阵呢我记得上课老师有提及书上的lu分解会和matlab不一样但是是对的学习的是matlab复习了线性代数的知识。那我们现在就跑两个代码试试看1. 原始高斯消去法脚本函数function x gauss_naive(A,b) % 原始高斯消去法不选主元 n length(b); A [A b(:)]; % 增广矩阵 for k 1:n-1 if A(k,k) 0 error(主元为零原始高斯消去法失败第 %d 步, k); end for i k1:n m A(i,k)/A(k,k); A(i,k:n1) A(i,k:n1) - m*A(k,k:n1); end end % 回代 x zeros(n,1); for i n:-1:1 x(i) (A(i,n1) - A(i,i1:n)*x(i1:n))/A(i,i); end end脚本保存位置和重命名命令行窗口运行A [2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2]; b [8; -11; -3]; x1 gauss_naive(A,b)路径没有他添加进来有点问题addpath D:\matlab\Script_learn这个结果与开始得到的解是一致的。我们使坏一下交换一下行使 a110 a110命令行窗口运行A2 [0 1 1; 1 1 1; 1 1 2]; b2 [2; 3; 4]; try gauss_naive(A2,b2) catch e disp(e.message) end2. LU 分解法Doolittle不选主元脚本函数代码1function [L,U] lu_doolittle(A) n size(A,1); L eye(n); U zeros(n); for k 1:n for j k:n U(k,j) A(k,j) - L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j); end if U(k,k) 0 error(U(%d,%d)0LU 分解失败,k,k); end for i k1:n L(i,k) (A(i,k) - L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k); end end end脚本函数代码2function x solve_lu(L,U,b) n length(b); y zeros(n,1); for i 1:n % 前代 Lyb y(i) b(i) - L(i,1:i-1)*y(1:i-1); end x zeros(n,1); for i n:-1:1 % 回代 Uxy x(i) (y(i) - U(i,i1:n)*x(i1:n))/U(i,i); end end两个脚本函数的代码路径依旧是我在刚刚报错的地方。注意一下路径哦addpath D:\matlab\Script_learnA [2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2]; b [8; -11; -3]; [L,U] lu_doolittle(A); disp(L ), disp(L) disp(U ), disp(U) disp(L*U - A ), disp(L*U - A) x2 solve_lu(L,U,b)3. 高斯列主元消去法代码运行的结果脚本函数function x gauss_partial_pivot(A,b) % 高斯列主元消去法 n length(b); A [A b(:)]; for k 1:n-1 [~,p] max(abs(A(k:n,k))); % 选列主元 p p k - 1; if A(p,k) 0 error(矩阵奇异); end if p ~ k A([k p],:) A([p k],:); % 交换行 end for i k1:n m A(i,k)/A(k,k); A(i,k:n1) A(i,k:n1) - m*A(k,k:n1); end end x zeros(n,1); for i n:-1:1 x(i) (A(i,n1) - A(i,i1:n)*x(i1:n))/A(i,i); end end命令行代码A [2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2]; b [8; -11; -3]; A2 [0 1 1; 1 1 1; 1 1 2]; b2 [2; 3; 4]; x3 gauss_partial_pivot(A,b) x3b gauss_partial_pivot(A2,b2)4. 高斯-赛德尔迭代法function [x,iter,res] gauss_seidel(A,b,x0,tol,maxit) n length(b); x x0(:); res zeros(maxit,1); for iter 1:maxit xold x; for i 1:n s A(i,:)*x - A(i,i)*x(i); % 用当前最新 x x(i) (b(i) - s)/A(i,i); end res(iter) norm(x - xold, inf); if res(iter) tol res res(1:iter); return; end end res res(1:maxit); endAgs [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4]; bgs [3; 4; 5]; [x4, iter, res] gauss_seidel(Ags, bgs, [0;0;0], 1e-10, 200); fprintf(迭代次数 %d\n, iter); fprintf(解 [%.6f, %.6f, %.6f]\n, x4); 迭代次数 14 解 [1.178571, 1.714286, 1.678571] semilogy(1:iter, res, o-) xlabel(迭代次数), ylabel(||x^{(k)}-x^{(k-1)}||_\infty) title(高斯-赛德尔法收敛过程), grid on

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