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从方差性质到不确定度传播律:不确定度就是求标准差!
目录一、方差的3条基本性质后续推导的基础1常数提取平方性2方差和二、A类不确定度1单次测量样本的标准差贝塞尔公式2报告关心多次测量平均值的波动平均值的方差性质3结合正态分布得到A类不确定度与置信区间三、B类不确定度四、C类不确定度合成不确定度 与扩展不确定度1C类不确定度2扩展不确定度五、不确定度传播定律1波动的方差测量值的方差2传播定律3常见的传播定律使用在第一次接触不确定度、置信区间等公式的时候只感觉一头雾水并不知道这些枯燥的公式是怎么推导出来的查阅资料后得知他们都源自于概率论中关于方差的基本性质遂写下这篇笔记帮助新手理解并记忆。一、方差的3条基本性质后续推导的基础1常数提取平方性2方差和二、A类不确定度1单次测量样本的标准差贝塞尔公式2报告关心多次测量平均值的波动平均值的方差性质由于实验报告汇报的不是单次测量值而是多次测量的平均值所以我们关心的是「平均值」本身的波动不是单次数据的波动而平均值的波动即平均值的方差或标准差可以表示的。于是我们来推导一个方差性质。平均值的方差普通方差的1/n倍。3结合正态分布得到A类不确定度与置信区间在多次重复读数时环境、读数抖动会带来随机波动而每一次读取都可看做一堆独立事件的叠加微小温度漂移误差、电路热噪音、人手微小抖动、电源纹波微小起伏……上百个独立、微小的扰动。所以每一次简单的读数都可以看做正态分布的一次测量。但是我们刚刚读书求平均值的标准差的时候可不管什么正态分布啊所以我们刚刚求出的标准差就是该正态分布的标准差所以我们说每次测量结果都是由多个独立扰动量叠加形成的正态分布而它的标准差就是如上这样求解。于是我们将其标准差定义为A类不确定度。三、B类不确定度B类不确定度不是多次测量的随机波动而是来自仪器出厂给定的最大允许误差。 仪器说明书给出极限误差 ± △区间半宽度记为 a△。 在没有额外信息的时候工程上默认误差在区间[-a,a]内均匀分布每一个误差值出现概率均等。刚刚我们用多测测量中平均值的标准差定义了A类不确定度类似的我们对仪器误差也化作标准差的形式均匀分布情况不过仪器误差不一定永远是均匀分布也可能是正态分布、三角分布。不同分布分母系数不一样直接查表即可而分子都是区间半宽度 a。原理完全一样写出分布积分求方差再开根号得到标准不确定度。四、C类不确定度合成不确定度 与扩展不确定度1C类不确定度A类、B类不确定度测量波动是总误差的来源于是我们只需要将二者相加并化为标准差形式即可表示测量总误差称为C类不确定度。由中心极限定理多个独立随机变量叠加之后总分布趋近正态分布。所以尽管 B 类不确定度是均匀分布但与A类包含很多独立变量合成之后近似正态。所以C类也可以直接使用正态分布来确定置信区间。而如果只存在B类则需要注意无法使用正态分布了2扩展不确定度五、不确定度传播定律1波动的方差测量值的方差有了这个结论后我们就可以直接对误差求方差进而得到不确定度的传播律了。2传播定律这里求偏导的意思是对每个方向的x求出其线性变化率然后每个叠加即可可以从我之前关于全微分的性质切平面的文章中理解在这里我产生了一个疑问为什么必须要用误差来求方差呢而不能直接用原始测量值去求解方差毕竟我们之前都是这样做的。这是因为当yf(x)是非线性函数时如两个电阻并联yR1*R2/R1R2直接对D(y)求解无法用方差和的性质去化简式子只能成为花瓶无法更进一步。而如果求微分后y化为了dy这里可不是简单求导而是只求一次导忽略高次项相当于在这个极小邻域内做一阶泰勒展开强行把误差写成了线性形式。而一旦写成线性形式后就能很方便套用方差和公式进行化简最终得到结论。3常见的传播定律使用当然我们后续可能还会遇到其他各种类型的式子不过万变不离其宗我们只需要从传播定律这个原始公式推导即可。一定要摒弃死记硬背的方法否则极其容易出错。
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