人工智能辅助数学猜想生成：模式挖掘、过滤与人机协作-北京尧图网络

1. 从计算验证到猜想生成AI在数学发现中的角色跃迁“人工智能应用-和数学家做朋友06.新数学猜想生成”这个题目放在五六年前看大概率会被当成科幻设定。那时候AI在数学圈的主流身份还是“验证者”——你告诉它猜想是什么它负责帮忙检查证明、跑数值验证、找反例。但最近两年局面明显变了AI开始从验证端走向发现端主动提出“这条规律可能成立”的候选猜想再让数学家去判断、去证明。这个角色转变本质上把AI从计算器升级成了科研搭档。我最早关注到这个方向是因为一个不算太出名的项目某研究团队用机器学习扫描数论里面的递推序列预测是否存在某种未记录的模性质。当时论文里列了一大串AI“觉得”可疑但还没被证明的性质其中有几条后来被数论方向的研究者证实了。这个案例给我的冲击很大——AI没有证明任何东西它只是发现了“值得证明的东西”但这恰恰是数学研究里最难、最依赖天赋的环节之一。现在这类工作已经有了一个约定俗成的叫法AI辅助猜想生成。它不追求AI独立提出那种惊世骇俗的大猜想而是做高价值的模式挖掘。具体来说是把数学对象的大量实例丢给算法让算法找出人类直觉容易忽略的统计规律再整理成形式化的猜想描述交给数学家筛选。这个流程里人仍然掌握最后裁决权但AI承担了最耗时间、最容易有偏见的“找规律”阶段。这篇文章我打算围绕“怎么让AI真正帮上数学家的忙”展开重点讲清楚三件事AI生成猜想的底层机制是什么实际落地要经过哪几步以及为什么绝大多数AI猜想的归宿是垃圾桶——以及怎么让垃圾桶里的废料也有价值。我假设读者有两类一是对数学和AI交叉感兴趣的开发者二是想用工具辅助科研但还没找到切入点的基础数学方向学生。两类人看完应该都能找到自己需要的部分。2. “AI怎么想出新猜想”底层机制与算法选型逻辑想理解AI猜想生成先得打破一个思维定式AI所谓的“新猜想”本质上从来不是凭空创造而是对已有数据的一种高维压缩和重组。人类数学家提出猜想依赖的是对大量例子的直觉抽象AI做同样的事情依赖的是统计模式识别。区别在于人类能抽象出“因果”AI只能捕捉“相关”——但数学猜想本来就不需要立刻有因果它只需要有强烈的相关性作为起点。2.1 模式识别驱动的猜想发现从数据规律到形式化命题我习惯把AI猜想生成分成三个层次难度递进。第一层最基础叫结构扫描。典型做法是把某个数学对象编码成向量或图结构比如把正整数序列、格点集合、群作用轨道抽象成特征矩阵然后聚类、找异常。这个层次几乎不涉及语义理解纯粹是数据挖掘思维。它能发现的猜想往往形式简单比如“这类序列的增长率似乎被某个常数约束住”“这类轨道中总有某种对称结构出现”。第二层叫关系推断。这里要用到更强一点的模型比如图神经网络、高斯过程回归或者树集成模型。输入是一组数学对象自身的参数输出是想预测的某种量——比如丢番图方程有没有解、某个模空间维数是不是符合预期、某种代数结构的自同构群阶数是否落在某个范围。模型如果在训练集上拟合得很好同时在新实例上也表现稳定那这背后通常存在尚未被写成定理的结构性原因。这时候把模型的决策边界、特征重要性提出来分析往往就能导出候选猜想。第三层叫符号重构。这一层已经不满足于“预测数值”了而是要让AI直接输出符号表达式类似搜索“a_n n^2 3n 5”这种闭合形式。常见实现有两类一类用遗传规划或者符号回归在表达式空间中搜索能拟合数据的短程序另一类用基于语言模型的生成方式把前缀的数学序列作为上下文让模型续写下一项并归纳规律。这一层最接近人类数学家的工作模式产出也最有吸引力因为生成的就是一个待验证的等式或不等式而不是一个黑盒预测。2.2 自己造训练集为什么公开数据集在这里几乎没用做AI猜想生成第一个会遇到的专业障碍是数据集。公开的数学数据集并不少比如整数序列百科、数学命题库、定理证明语料库但它们的定位是给“验证型AI”用的拿来训练“发现型AI”会水土不服。原因在于公开发布的数据集经过人工筛选往往是“干净”的、被验证过的、有一定知名度的规律。算法学到的会偏向于复现已知数学而不是探索未知。更别扭的是公开数据里噪声结构完全是随机的而数学数据里的“噪声”其实往往暗示着被忽略的结构。所以我的做法是自己合成训练集。用符号计算库批量生成某个数学对象的实例把已知定理能解释的部分标记为“已知”把不符合已知规律但可重复出现的模式标记为“可疑”再把这些“可疑”实例作为正样本交给模型去拟合。这一步听着容易实际操作起来工作量很大尤其是要保证生成的数据分布合理、没有程序bug导致的伪规律。我举一个具体例子。之前我做过一阵子分拆partition函数相关的实验想看看AI能不能发现某种模周期性。人工筛选分拆函数对模数k的周期结论写进公开文献的只有很小一部分。我于是用程序批量计算前几百项分拆函数的值对每项取模再把数论里已经证过的周期规律作为过滤条件把过滤后剩下的“模值序列里冒出的强重复性”作为候选信号。AI最后还真报了三条可疑模式其中一条后来对照文献发现已有出处另外两条至今没人证明也没人推翻结局很悬。2.3 为什么我优先选可解释模型而不是深度学习黑盒模型选型上我踩过最大的坑是没有一开始就区分“拟合能力”和“可解释性”的优先级。很多团队一看这任务第一反应是上Transformer让语言模型在数学序列上继续训练。这思路不是不可以但如果你的目标不是“生成看起来像数学的文本”而是“给出值得数学家看的猜想”那相当一部分深度学习模型反而是负资产。原因很朴素数学猜想如果不能被翻译回符号语言数学家根本无从判断它的价值。一个Transformer可能生成一百段“形式上很数学”的文本但里面真正包含有效模式、又能被证伪的可能是零。因为语言模型优化的是“序列概率”不是“命题真值”。模型擅长的是模仿风格不是把握数学本质。所以我更倾向于把可解释性排在第一位。排序上高斯过程、稀疏线性模型、带特征重要性排序的梯度提升树都是我优先考虑的。它们的拟合范围不如深度模型广但胜在输出能直接映射回输入变量的组合关系谱分析后能直接看到是“哪个参数、哪种取值区间”导致了偏离理论预期的行为。具体说出来可能有点反直觉越“笨”的模型越适合用来发现新猜想。你要的不是它在高维空间里疯狂记忆而是它在低维空间里老老实实告诉你“x越大概率越快衰减”这种话。数学猜想在早期阶段往往就是这么朴素。我在实际项目里用过一个非常简单的基线直接在预定义的特征集上跑随机森林然后输出特征重要性top-N。只要特征工程做得精细这个基线的产出质量可以超过很多复杂模型。后来我把特征工程和模型输出做成一个循环每次模型汇报可疑特征我就据此构造新特征再跑下一轮几轮迭代下来产出的候选猜想比一开始用Transformer跑一整天得到的靠谱得多。3. 一个可复现的落地框架从环境搭建到出猜想的七个步骤工具链这部分是我在实际跑通一个猜想生成流程之后沉淀下来的。说实话整个流程的门槛不在算法本身而在如何把“数学对象”变成“模型输入”再把“模型输出”变成“数学陈述”。这两步转换没做好后面所有环节都是白费。3.1 第一步定义数学对象的范围与编码方式开始动手之前先回答一个问题你要研究哪一类数学对象这个范围必须足够窄窄到你能为它设计出稳定的数值化描述。比如“研究素数分布规律”这种范围就太宽了AI会束手无策。但如果把范围改成“研究形如 n^2 1 的素数在固定区间内的分布异常”那就成了可操作的计划。接下来要干的是把对象编码成模型看得懂的结构。一般有三类编码方式数值向量比如参数值、函数值、增长率、图结构比如代数结构的生成元关系图、组合结构的包含关系图、序列比如递推序列的前若干项。我自己的偏好是尽量用多重编码叠加。每一个数学对象同时用数值向量表达它的宏观参数、用图表达它的元素间互动、用序列表达它的演化路径。这样三种视角互补模型更容易发现隐藏不深的结构。3.2 第二步数据生成与清洗——这里最容易混入“伪规律”我前面提到自己合成训练集这里展开讲。批量生成实例这一步常用工具包括符号计算库和数论函数库。比如研究丢番图方程就要枚举特定范围的整数组合用快速求解模板判断每组参数下方程的解集状态研究格点路径计数就用动态规划批量算出不同约束下的计数结果。清洗这一步必须特别小心因为自动化生成的数学数据里有一个隐雷程序里的浮点误差和整数溢出。一个求模运算因为溢出产生了边界错误可能造出一批看似有周期性、实则纯属bug的数据点。AI如果在这样的数据上发现了“规律”那是在学习程序员的失误不是在学数学。更麻烦的是这类伪规律在统计特征上往往特别强比真实规律还容易被模型抓到。所以清洗时我会做一次双重校验对每一条“可疑规律”至少用两套独立实现的计算代码交叉验证结果。数值上完全一致的才留下有一丁点差异就剔除宁可错杀也不留隐患。3.3 第三步特征工程作为核心环节——好的特征比模型重要十倍这一步是整个流程里我最想强调的部分。很多人习惯把数据揉成一个长向量丢给模型觉得特征工程是上世纪的传统手艺。但在数学猜想生成这个场景里特征工程恰恰是决定上限的环节。一个好的特征必须尽量接近数学家思考时会用的量。举例来说你怎么描述一个丢番图方程的特征直接堆参数系数、次数当然有用但那完全是图灵测试意义上的“外行描述”。数学家会先看方程的次数、亏格、奇点数量、有理点密度这些几何和算术不变量。如果你把这些不变量处理成特征模型就能在接近人类概念空间的地方找规律产出的候选猜想才可能被数学家看懂。特征工程里最实用的技巧是把“同一信息的不同视作”同时喂给模型。比如同一个对象既算一次它的数值函数值也算一次它取模之后的余数分布再算一次它的对数增长率。模型如果在其中某一种视角下发现了强信号往往意味着这个信号在数学上对应某个不变量性质。3.4 第四步模型训练和模式筛选到了模型训练这一步其实没有太多花哨的。我通常用三类方法交叉验证第一类是高斯过程回归。优点是输出自带不确定性估计可以直接知道模型对某个候选猜想的置信度缺点是样本量稍大一点就慢得让人想砸电脑所以只用于小规模高级别验证。第二类是梯度提升树。这是主力速度快、处理混合特征方便、特征重要性也相对可解释。缺点是对数据中的平滑趋势不太敏感但在“可疑区间识别”这个场景上表现极好。第三类是符号回归。作为产出候选公式的最后一跳把前两类模型圈出的可疑实例区域用符号回归拟合闭合表达式。这一步生成的公式就是最终的候选猜想。通过三类模型交叉打分我可以给每个候选区域算一个综合分数稳定性在不同随机种子下是否反复出现、偏离度与已知定理给出的预期相差多少、简洁度如果能被符号回归改写为短公式则加分。按这个分数排序top10的候选才值得拿给数学家看。3.5 第五步质疑优先——让AI自己生成反例搜索器拿到top10候选之后我强烈建议不要急着庆祝。更有效的做法是进入“反例搜索”模式针对每一个候选猜想专门设计一套穷举和启发式搜索程序去寻找满足前提条件但违背结论的例子。这一步和机器学习里的对抗样本有些类似。你要把AI当作一个正在求职的实习生它提供方案你负责用最刁钻的方式检验方案有没有漏洞。许多看似漂亮的AI猜想会在这一步快速毙命因为AI在训练数据覆盖的空间里表现良好但训练数据覆盖不了的边界区域往往藏着大量反例。我在自己的流程里会把反例搜索器也写成一套独立模块。每次出候选猜想立刻自动启动搜索给AI候选生成一个反例报告。如果搜索几个小时内找不到反例这个猜想才会进入下一轮人工评审的排队列表。3.6 第六步人工评审——数学家的判断力仍是稀缺资源到这一步AI的活儿基本结束了剩下的就是数学家的时间。但我发现一个现实问题数学家时间有限泛泛地把所有候选都丢过来很容易形成“狼来了”的效应第二次第三次他们就懒得看了。所以人工评审前必须做“可读性包装”。具体包括把符号回归得到的表达式整理成标准的数学命题格式附上支持数据表格怎么采样、范围多大、对哪些边界做过多轮验证再用一句话说清楚“如果这个猜想成立它可能的意义是什么”——哪怕这个意义是初步的、猜测性的。我自己写可读性报告时会努力控制在A4纸两页以内。业内很少有人能做到但做得到的时候反馈质量会立竿见影。两页内讲清楚内容数学家更容易认真当回事认真看了之后提出的修正意见也更具体。3.7 第七步记录、归档、发布——猜想的“耐久度”问题最后一个步骤容易被忽略但我认为它决定了整个流程的长期价值完整的实验记录和归档。推测猜想和证明定理有个很大的不同。证明定理的产出是确定的——要么对要么错猜想则可能在完成多年之后才被证实或证伪。如果当时记录不完整后人很难判断当初这个猜想是在什么样的数据支撑下提出的也就难以作为引理被后续工作使用。我的归档习惯是给每个候选猜想分配唯一的ID记录完整的数据参数、代码版本、模型配置和人工评审意见。以后无论过了多久只要有人来问“这个猜想当时是怎么来的”我都能复原整个链路。这个习惯很朴素但在实际研究中省了非常多的时间。4. 为什么多数AI猜想会进垃圾桶失效模式与过滤器设计AI猜想生成这个方向最让人产生虚假繁荣感的原因就是AI出猜想的数量极大但质量极低。如果一个人只看数量不看质量很容易得出“AI已经可以当数学家”的错误结论。我的真实经验是AI产出的候选猜想最终能通过人工评审的不到百分之一。剩下百分之九十九都会进垃圾桶。但这不意味着那些被丢弃的猜想没有意义。关键在于你得知道它们为什么会失效然后设计一套过滤器去主动识别这种失效模式。否则百分之九十九的废料会消耗掉数学家全部的时间预算导致那百分之一的珍品被错过。4.1 伪相关与过拟合AI看到的是统计幽灵第一类失效模式最常见模型在数据里找到了统计相关但它背后没有任何数学机制支撑。我把这种信号叫作“统计幽灵”。举个我踩过的坑。有一回我在某个组合计数序列上做模数分析AI报了一个很强的周期性规律。我起初兴奋得不行因为模周期性在数论里是个非常受关注的课题。结果复查时才发现原始数据的生成程序里有一个边界条件设置导致数据被意外截断截断本身制造了一个虚假的边界效应。AI抓到的就是那个边界效应的影像不是数学规律。这类失效模式在特征空间里往往表现为“只在某个特定参数区间内成立”。所以过滤器第一原则就出来了任何候选猜想必须验证它在训练数据覆盖范围外的外推表现。如果外推就崩那大概率是过拟合立刻毙掉。4.2 平凡性检测防止AI重新发明教科书第二类失效模式是平凡性。AI产出的“新猜想”大概率只是旧定理的等价变形或者特例。因为数学世界里的规律高度关联一个不明显的新规律往往是若干个旧规律在参数空间里交汇产生的影子。为了拦截这类情况我建立了一个“平凡性过滤器”。基本做法是把候选猜想的条件部分和结论部分分别翻译成一套标准形式然后在本地知识库中检索相同或近似的条目再对多个旧定理做系统性的数值验证看候选猜想是否只是旧定理在某个参数取值下的重新表述。这套过滤器的准确率能做到比较高但代价是要维护一个结构良好的已知定理库并且要持续更新。对个人研究者来说前期投入不小但对团队或长期项目来说绝对值得。我亲眼见过一个AI猜想来来回回“重新发现”了三遍欧拉准则的变体——每次措辞不同根子上却是同一个定理。4.3 可证伪性与边界条件的隐形成本第三类失效模式更有意思候选猜想虽然有数学意义但它缺少可证伪性。一个猜想如果没办法被设计出切实可行的检验方案那它即便看起来再美也很难被推进。我之前见过一个AI从几何数据里挖出来的候选猜想描述某种流形上的曲率积分满足一个漂亮的不等式。数学意义上完全不平凡但在当时的技术条件下既没有解析工具能证明也没有计算工具能在足够大的样本空间里给出强数值验证。它就像一座孤岛存在但没人能靠近。我现在会在过滤器里加入“可行性评分”穷举验证需要的时间预估、所需计算资源与现有能力的匹配度、是否存在已知的反例搜索算法。把这些维度量化后就可以给每个候选猜想打一个“研究可行性”分分数太低的直接延期处理不进入数学家的紧急队列但留在慢速队列里作为远期储备。4.4 多层过滤器的实战效果我这套完整过滤器跑下来top1000个初始候选里大约可以筛选出五个“值得数学家花时间看看”的副产品。五个里头最终有一个真正引起数学家的正面反馈。掉率看着吓人但实际效果已经比完全没有AI辅助时高出几个数量级——因为人工盲扫的初始候选往往连top1000都不到。这套流程的本质是用计算力换取数学家的注意力。你投入大量算力去把成千上万个低质量猜想快速淘汰只把极少数高质量候选送到人类面前。算力便宜数学家的时间贵这个交换在经济上是绝对划算的。5. 让AI猜想的路径与数学家的“为什么”人机协作的真实模式跑完整个流程以后我从一个技术控视角逐渐转变成一个不相信“AI独立发现”的人。准确说我越来越相信“AI提供线索、人类赋予意义”的协作模式才是这个领域最健康的状态。5.1 AI给出线索数学家负责“为什么”AI能发现数据里隐藏的强规律但它永远回答不了“这个规律为什么可以成立”。它能告诉你在大量数值实验中某个表达式的值似乎始终落在某个区间但它没法告诉我这是因为某个隐藏的代数恒等式还是两条独立机制偶然交叉。而数学家的核心能力恰恰在这里。他们看到AI报出的表达式之后会调动已有的理论框架去问“为什么”——会不会有一个尚未被发现的对称性是否可能从某个更一般的定理中推出这个特例这种理论洞察AI在可预见的将来很难具备。原因很简单理论洞察意味着在概念空间里做类比、跳跃、抽象而AI本质上还是在已给数据上做插值。这解释了一个观察到的悖论AI在非常窄的数学问题上表现惊艳但换一个平移到相关的领域立刻丧失理解力。数学家则可以在两个看起来毫不相关的分支之间建立关联并且这种关联往往是重大突破的起点。5.2 可读性是AI猜想的生死线在实操层面我越来越意识到“包装”和“可读性”的分量。试想两个场景。场景AAI输出一大段向量、号和各种统计量附带“模型置信度为97%特征重要性排名前五为sys_x3、sys_x7、sys_y2”。数学家看一眼根本不知道怎么处理。场景BAI输出一句干净的话“我们猜测当 p≡3 mod 4 时这类曲线的秩存在一个上界支持数据来自十万个随机实例”。数学家立刻会心一笑知道这值得进一步验证。差别不在算法在于你是否做了最后一公里的翻译。我后来养成了一个习惯所有AI候选在送给人看之前必须过一遍自然语言翻译层。可以把这句话理解为一种数学版的“文案编辑”它不改变内容但改变了内容被接收的效率。5.3 案例复盘一个被采纳的AI猜想是怎么活下来的最后分享一个具体案例。去年我做了一个和分拆同余相关的实验目标很简单用AI批量扫描分拆函数 p(n) 在模数小于20的情况下有没有未知的同余模式。流程走完后AI给了44个候选。第一轮平凡性过滤器毙掉41个然后我手动复核剩下3个。从这3个里挑了一个看起来相对有前景的发给了某位研究方向相关的学者。那个候选猜想描述的是某种带额外参数的分拆函数在模7条件下有一个很短周期的同余性质。此前文献里没有人直接提过。学者看到之后一开始很怀疑但数值支撑足够强他于是花了一个周末试着手动建立这个性质的雏形证明。结果没有完全证明但确实找到了一个可以解释部分案例的代数变形思路。后来这个例子被写进了一份研究笔记作为“值得后续深入探索的方向”被保留。这个案例让我印象最深的不是“AI发现了新定理”——它没有——而是整个分工非常清晰AI负责扫描海量数据并给出候选我的过滤器负责快速淘汰明显无效的选项数学家的理论直觉负责提供“为什么它可能成立”的路径以及判断这个方向值不值得继续投入。没有AI数学家很难凭直觉在无穷多的同余关系里准确猜到这个特殊位置没有数学家AI的这个候选也只会淹没在另外43个废票里。真正让这个项目跑通的是两套系统的对接而不是任何单独一方。5.4 对“AI替代数学家”说法的一个冷静回应我清楚有一派人热衷讨论“AI是否终将替代人类数学家”。至少从我现在做过的所有实验来看答案是否定的甚至这个提法本身就有些背离问题的关键。现实是AI远未强大到可以“懂数学”。它擅长的是在不变量构成的高维数据空间里做统计推断它产出的是“可靠的信息”不是“可靠的数学命题”。可靠的信息经过数学家的逻辑重构之后才能变成可靠的数学命题。而逻辑重构这个环节目前还看不到有AI能够胜任的迹象。另一方面数学研究里最消耗数学家精力的往往不是“想出猜想”的那一下灵感而是“寻找值得投入精力去想的候选”那一大段探索流水线。AI把这段流水线自动化之后数学家的注意力就能更集中在真正属于人的环节——理论建构、跨域类比和逻辑证明。我自己在这几年里的具体变化是花在筛选低质量模式上的时间减少了大约六成省下来的时间都用在了阅读文献和与同行讨论上。AI没有让我变得更像机器反而让我有更多时间做更像人做的事情。这个体验或许是这个领域最值得分享的价值。

人工智能辅助数学猜想生成：模式挖掘、过滤与人机协作

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