【数据结构】图与树 · 算法手记与练习-北京尧图网络

#include stdbool.h #include stdio.h #include stdlib.h #include math.h #define MAXN 1010 int iMaxLength 0;//最长路径长度 int iCurrentLength 0;//当前路径长度 typedef int ElemType; ElemType stMax_Path[MAXN];//最长路径元素 ElemTyp stCurrent_Path[MAXN];//当前路径元素 bool DFS(BiTree root){ //程序健壮性检查是否为空树 if( root NULL ) return false; //根节点加入路径 stCurrent_Path[iCurrentLength] root-data; //访问到叶子节点 if( root-lchild NULL root-rchild NULL ) { if( iCurrentLength iMaxLenngth ){ iMaxLength iCurrentLength;//更新最大路径长度 //同时更新最大路径数组 for(int iPos 0; iPos iCurrentLength; iPos){ stMax_Path[iPos] stCurrent_Path[iPos]; } } }else{ DFS(root-lchild);//递归遍历左子树 DFS(root-rchild);//递归遍历右子树 } iCurrentLength--;//回溯从路径数组中移出当前节点 return true; } //一个打印函数相当于main.c测试函数 bool Search_Longest_Path(BiTree T){ //声明变量时已初始化 DFS(T);//递归查找最长路径 if (iMaxLength 0) printf(Not Found Longest Path.\n); else{ //输出最长路径、最长路径长度 printf(Longest Path is:); for(int iPos 0; iPos iMaxLength; iPos){ printf(%d,stMax_Path[iPos]); } printf(\n); printf(Longest Path Length is: %d\n, iMaxLength ); } return true; };算法设计题从根节点到叶子节点的最大距离称为树的半径。给定一个无向连通图写一个算法找出半径最小的生成树。最小生成树MST:最小生成树的题目。下面介绍两个求MST的经典算法1.Prim算法。思路添加点位想象有两个集合/*S*/存放已经选入MST的顶点集合/*V-S*/存放未被选择的顶点集合。2.Kruskal算法。加边法适用于稀疏图时间复杂度为OE logE。题干中的无向连通图并未给出权值所求的半径最小的生成树并非课本所学的最小生成树。重新梳理图章节中的算法列表1.PrimKruskal算法的C语言实现与DFS/BFS并无关联2.DFS/BFS算法不考虑边权值仅仅实现图的遍历【思考题】邻接表实现的Prim与Dijkstra几乎一模一样3.Dijsktra:dist[u]是源点到U的最短路径长度但是叶子节点并不指定。切换Floyd也不解决问题二者均为指定目标点位的路径规划算法。【逆向思考】图不太可能考察MST代码实现、AOE网的代码实现、DijkstraFloyd的代码实现上述代码实现过于复杂不具备筛选性质。仅仅考察手动模拟。那么有限考察点BFS遍历、DFS遍历、多源BFS最短路、拓扑排序就都成了重点。重新梳理题目Msg找到一个顶点V使得点V到最远点的最短距离尽可能小这个最小的最大值即最小半径。引入两个概念偏心距ev以v为起点到所有其它点的最短路径的最大值。图的半径rad(G)图的偏心距集合最小值。STEP1求图的任意一点的生成树半径STEP2比对所有点的生成树半径排序求最小值。一次简单选择排序便能实现STEP2套上遍历的壳子使用STEP1方法。方案一:Floyd-Warshall适合n很小稠密图运行Floyd算出逆向全部点对的最长距离d[i][j]On^3,添加叶子节点判定。方案二多次Dijkstra正权图、稀疏图效率更好O(n(mn logn))多次单源最短路实现等价于多源最短路实现。一次总结Prim/Kruskal: 最小生成树MST总边权和最小Dijkstra/Floyd/BFS: 最短路径两点之间的距离最小DFS/BFS遍历逆向Floyd加上叶子节点判定可行。Dijkstra实现过于复杂不可取。【思考】最短路算法可以解决最小半径生成树问题那么BFS如何使用呢时间复杂度和手写难度是否能中和Floyd时间复杂度较大与Dijkstra实现难度较高呢- 无权无向连通图生成树 → DFS / BFSMST无定义别上Prim/Kruskal点到点最短路径 → BFSDFS不能求最短- 带权无向连通图MST → Prim / Kruskal权正负都可以最短路正权→Dijkstra有负权→Floyd/SPFA- 有向图没有MST不要用Prim/Kruskal求最短路用 Dijkstra(正权) / SPFA / Floyd。怎么选方案快速决策表1. 无权连通图边权恒为1→ 多次BFS2. 正权连通图n很小n≤200→ Floyd代码省事3. 正权连通图稀疏图、n比较大 → 多次堆优化Dijkstra4. 有负权边无负环n小 → Floyd5. 有负权边无负环n大稀疏图 → 多次SPFA不推荐不稳定6. 确认是树无环→ 叶子剥离法速度最快哇这个问题非常有意思而且很容易和之前“图的半径”搞混它有专门名字最小半径生成树 MRST (Minimum Radius Spanning Tree)问题完整定义给定无向连通带权图 G找出它的一棵生成树 T包含全部n个顶点、n‑1条边、连通、无环树T的半径 rad(T)树里根到叶子最大距离的最小值树的中心的偏心距目标选出所有可能生成树当中 rad(T) 尽可能小的那一棵- 最小直径生成树 MDSTMinimum Diameter Spanning Tree生成树的直径最小最远叶子对距离最小。它和MRST非常接近但不完全一样直径 max偏心距半径 min偏心距。对于树如果直径D半径r满足 r\lceil D/2\rceil。所以MDST和MRST最优解往往是同一棵树但定义不一样MDST有一个经典的绝对中心图的1‑中心算法稍微复杂一些。总结原来离心率是一个整体的概念图的定理应用。此题难度爆炸舍弃。

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